Calcular a área da região R dadas por:
r^2=9 sin (2 theta).

Passo 1

O enunciado pede a área da região R descrita em coordenadas polares pela equação
r^2=9sin(2theta)
Como se trata de uma curva em polares, vamos usar a fórmula da área
A=12integral r^2,dtheta

Passo 2

Para que r seja real precisamos de
r^2>=0Longrightarrowsin(2theta)>=0
Isso ocorre em thetain[0,tfracpi2] e em thetain[pi,tfrac3pi2]. Cada intervalo corresponde a um “lobo” da lemniscata. Vamos calcular a área de um lobo em [0,tfracpi2].

Passo 3

A área do primeiro lobo é
A1 =12integral0^pi/29sin(2theta),dtheta =92integral0^pi/2sin(2theta),dtheta =92gl[-cos(2theta)2gr]0^pi/2 =94l(-cospi+cos0r) =94(2) =92

Passo 4

Pela simetria, o segundo lobo (em thetain[pi,tfrac3pi2]) tem a mesma área. Assim, a área total é
A=2A1=2cdot92=9

Resposta

A área total da região R é 9.

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