Calcule a integral
integral duplaR x raizy^2-x^2 d A
R=l 0 <= y <= 1 0 <= x <= y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular:
integral duplaR x raizy^2-x^2 , dA
Onde a região R é definida por:
0 <= y <= 1 e 0 <= x <= y
Vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e técnicas de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. y varia de 0 a 1 e, para cada valor de y , x varia de 0 até y . Então, podemos escrever a integral como uma integral iterada:
integraly=0^1 integralx=0^y x raizy^2-x^2 , dx , dy

Passo 3

Vamos focar na parte interna da integral, ou seja, integrar em relação a x . A expressão x raizy^2-x^2 sugere que uma substituição trigonométrica ou uma substituição simples pode ajudar. Aqui, vamos usar uma substituição simples:
u = y^2 - x^2
Dessa forma, a gente consegue simplificar a raiz quadrada.

Passo 4

Vamos calcular du :
du = -2x , dx Rightarrow -12 du = x , dx
Agora, substituímos na integral:
integralx=0^y x raizy^2-x^2 , dx = integralu=y^2^0 raizu (-12) du = 12 integral0^y^2 u^1/2 du
Integrando u^1/2 :
12 cdot 23 u^3/2 |0^y^2 = 13 ( y^2 )^3/2 - 0 = 13 y^3

Passo 5

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integraly=0^1 13 y^3 , dy
Essa é uma integral simples de potência. Vamos integrar:
13 cdot 14 y^4 |0^1 = 112 (1^4 - 0) = 112

Resposta

O valor da integral dupla é boxeddfrac112.

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