Leia com atenção. Justifique suas respostas. Use palavras para conectar suas ideias.
Use o método de cascas cilíndricas para achar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=4 x-x^2 e y=x, entorno do eixo y. Escreva a fórmula de volume por cascas cilíndricas de forma geral, Faça um esboço.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada por
;y=4x-x^2; e ;y=x.
O conteúdo é o método de cascas cilíndricas, que exige identificar o raio da casca, sua altura e os limites de integração em x.

Passo 2

Encontrar onde as curvas se intersectam, resolvendo
4x - x^2 = x
-x^2 + 3x = 0
x(3 - x) = 0 Longrightarrow x=0,;x=3
Logo, a região vai de x=0 até x=3.

Passo 3

Esboço da região no plano xy:
A parábola ,y=4x-x^2 abre para baixo, cortando o eixo x em x=0 e x=4.
A reta ,y=x passa pela origem com inclinação 1.
As duas se cruzam em (0,0) e (3,3), formando uma “tampa” entre x=0 e x=3.

Passo 4

Para cada xin[0,3], a casca cilíndrica tem:
– raio ;r(x)=x,
– altura ;h(x)=(4x - x^2) - x = 3x - x^2.
O elemento de volume é
dV = 2pi,r(x),h(x),dx = 2pi,x,(3x - x^2),dx
Assim a fórmula geral é
V = integral0^3 2pi,x,(3x - x^2),dx

Passo 5

Calcular a integral:
V = 2piintegral0^3(3x^2 - x^3),dx = 2pil[x^3 - tfracx^44r]0^3 = 2pil(27 - tfrac814r) = 2picdottfrac274 = tfrac272,pi

Resposta

V = 272,pi

Exercícios relacionados