Calcular a area da região limitada pela curva
e pelo eixo das abscissas.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pela curva paramétrica (t−sen t, 1−cos t) para t∈[0,π] e pelo eixo x. Isso é um problema de área sob curva paramétrica, em que usaremos a fórmula A=∫y dx. Para isso, precisamos de x’(t) e da expressão de y(t).
Passo 2
Para curvas paramétricas, a área entre a curva e o eixo x é dada por A=∫y dx=∫₀^π y(t)·x’(t)
dt. Primeiro calculamos x’(t). Como x(t)=t−sen t, temos
dt. Primeiro calculamos x’(t). Como x(t)=t−sen t, temos
Passo 3
Substituímos em A: y(t)=1−cos t e x’(t)=1−cos t, logo
Passo 4
Para integrar (1−cos t)^2, expandimos:
Passo 5
Assim
Integrando termo a termo e sabendo que ∫₀^πcos t dt=0 e ∫₀^πcos2t dt=0, obtemos