Calcular a area da região limitada pela curva (t-sen t, 1-cos t), t in[0, pi] e pelo eixo das abscissas.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva paramétrica (t−sen t, 1−cos t) para t∈[0,π] e pelo eixo x. Isso é um problema de área sob curva paramétrica, em que usaremos a fórmula A=∫y dx. Para isso, precisamos de x’(t) e da expressão de y(t).

Passo 2

Para curvas paramétricas, a área entre a curva e o eixo x é dada por A=∫y dx=∫₀^π y(t)·x’(t)
dt. Primeiro calculamos x’(t). Como x(t)=t−sen t, temos
x'(t)=1−cos t

Passo 3

Substituímos em A: y(t)=1−cos t e x’(t)=1−cos t, logo
A=integral0^pi(1−cos t),(1−cos t),dt=integral0^pi(1−cos t)^2,dt

Passo 4

Para integrar (1−cos t)^2, expandimos:
(1−cos t)^2=1−2cos t+cos^2 te temoscos^2 t=1+cos2t2

Passo 5

Assim
A=integral0^pil(1−2cos t+1+cos2t2r)dt=integral0^pil(tfrac32−2cos t+tfraccos2t2r)dt
Integrando termo a termo e sabendo que ∫₀^πcos t dt=0 e ∫₀^πcos2t dt=0, obtemos
A=32integral0^pidt=3pi2

Resposta

3pi2

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