Descreva o conjunto dos pontos nos quais a função f seja contínua:
(x, y) neq(0,0) se f(0,0)=1 e .

Passo 1

O enunciado pede para descobrir onde a função
f(x,y)= dfracsinl(raizx^2+y^2r)raizx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0), 1,&(x,y)=(0,0)
é contínua. Esse conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis e uso de limites especiais ( limrto0sin rr=1).

Passo 2

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0), temos que raizx^2+y^2neq0. As funções (x,y)mapstoraizx^2+y^2 e rmapstosin r são contínuas, e a divisão por uma quantidade não nula preserva a continuidade. Logo, f é contínua em todo ponto (x,y) diferente da origem.

Passo 3

No ponto (0,0) precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=1
Usando coordenadas polares, seja r=raizx^2+y^2. Quando (x,y)to(0,0), temos rto0 e
f(x,y)=sin(r)r
Como é clássico que
limrto0sin rr=1,
segue que o limite bidimensional é 1, igual a f(0,0). Portanto f é contínua na origem.

Passo 4

Juntando as duas partes, concluímos que f não apresenta falhas de continuidade em nenhum ponto de R^2.

Resposta

A função é contínua em todo o plano R^2.

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