Questão 1.

Considere a função f(x, y)=raizx^2+y^2.
a) ( 1,5 ponto) Encontre as derivadas parciais partial f / partial x e partial f / partial y.
b) nabla f=(partial f / partial x, partial f / partial y) ponto) Calcule o vetor gradiente P0=(1,0) no ponto f.
c) P0=(1,0) ponto) Encontre a derivada direcional de u=(0,1)=0 i+1 j em u na direção do vetor unitário nabla f, dada por:
f
d) ( 0,5 ponto)(BÔNUS) Qual o ângulo entre P0 e o vetor ? Com o resultado da derivada calculada em c) determine o comportamento da função no ponto .

Passo 1

A questão pede derivadas parciais de f(x,y)=√(x²+y²), o gradiente em P₀=(1,0), a derivada direcional na direção û=(0,1) e o ângulo entre ∇f e û com a interpretação do sinal da derivada. Vamos usar regra da cadeia para as derivadas, definição de gradiente, produto escalar, derivada direcional e fórmula do ângulo entre vetores.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais, note que f(x,y)=(x²+y²)^{1/2}. Aplique a regra da cadeia: derivada de u^{1/2} é (1/2)u^{-1/2} vezes a derivada de u=x²+y². Assim:
partial fpartial x=12(x^2+y^2)^-1/2cdot2x=xraizx^2+y^2,partial fpartial y=yraizx^2+y^2

Passo 3

No ponto P₀=(1,0) basta substituir x=1 e y=0 em cada derivada parcial. Fica
partial fpartial x(1,0)=11=1,partial fpartial y(1,0)=01=0,
logo ∇f(1,0)=(1,0).

Passo 4

A derivada direcional de f em P₀ na direção de û é dada por D_{û}f(1,0)=∇f(1,0)·û. Como ∇f(1,0)=(1,0) e û=(0,1), temos
$$
D_{û}f(1,0)=1·0+0·1=0.$$

Passo 5

Para o ângulo θ entre ∇f(1,0) e û use cosθ=(∇f·û)/(‖∇f‖‖û‖). Aqui o produto escalar é zero, então cosθ=0 e θ=90°. Vetores ortogonais significam que ê direção û é tangente às curvas de nível de f em P₀ e, portanto, f não varia nessa direção (derivada direcional zero).

Resposta

a) partial fpartial x=xraizx^2+y^2, partial fpartial y=yraizx^2+y^2;
b) nabla f(1,0)=(1,0);
c) Dhat uf(1,0)=0;
d) theta=90^circ, vetores ortogonais e, portanto, f não varia na direção de hat u em P0.

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