Considere a função .
a) ( 1,5 ponto) Encontre as derivadas parciais e .
b) ponto) Calcule o vetor gradiente no ponto .
c) ponto) Encontre a derivada direcional de em na direção do vetor unitário , dada por:
d) ( 0,5 ponto)(BÔNUS) Qual o ângulo entre P0 e o vetor ? Com o resultado da derivada calculada em c) determine o comportamento da função no ponto .
Passo 1
A questão pede derivadas parciais de f(x,y)=√(x²+y²), o gradiente em P₀=(1,0), a derivada direcional na direção û=(0,1) e o ângulo entre ∇f e û com a interpretação do sinal da derivada. Vamos usar regra da cadeia para as derivadas, definição de gradiente, produto escalar, derivada direcional e fórmula do ângulo entre vetores.
Passo 2
Para achar as derivadas parciais, note que f(x,y)=(x²+y²)^{1/2}. Aplique a regra da cadeia: derivada de u^{1/2} é (1/2)u^{-1/2} vezes a derivada de u=x²+y². Assim:
A derivada direcional de f em P₀ na direção de û é dada por D_{û}f(1,0)=∇f(1,0)·û. Como ∇f(1,0)=(1,0) e û=(0,1), temos
$$
D_{û}f(1,0)=1·0+0·1=0.$$
Passo 5
Para o ângulo θ entre ∇f(1,0) e û use cosθ=(∇f·û)/(‖∇f‖‖û‖). Aqui o produto escalar é zero, então cosθ=0 e θ=90°. Vetores ortogonais significam que ê direção û é tangente às curvas de nível de f em P₀ e, portanto, f não varia nessa direção (derivada direcional zero).
Resposta
a) partial fpartial x=xraizx^2+y^2, partial fpartial y=yraizx^2+y^2;
b) nabla f(1,0)=(1,0);
c) Dhat uf(1,0)=0;
d) theta=90^circ, vetores ortogonais e, portanto, f não varia na direção de hat u em P0.