1.5 Encontre a equação da esfera que contém os pontos
e
sobre um grande círculo.
Passo 1
O enunciado pede a equação da esfera que contém os pontos A=(0,1,0), C=(√3/2,−1/2,0) e D=(0,0,√2) sobre um grande círculo. Como num grande círculo o centro da esfera é também o centro do círculo determinado por A, C e D, vamos achar o ponto O=(x,y,z) que é equidistante de A, C e D e pertence ao plano desses três pontos.
Passo 2
Para começar, encontramos a equação do plano que passa por A, C e D. Calculamos os vetores
e
, fazemos o produto vetorial para achar um normal
e, a partir de A, escrevemos
que pode ser reescrita como
Passo 3
Em seguida impomos que O seja equidistante de A e C. Ou seja,
que, ao desenvolver, dá a relação linear
ou seja
.
Passo 4
Depois impomos que O seja equidistante de A e D:
o que resulta em
ou ainda
$$
z = \frac{y + 1/2}{\sqrt2}.$$
Passo 5
Agora resolvemos o sistema formado por
-
-
-
.
Substituindo (1) e (2) na equação do plano, obtemos
Passo 6
Para achar o raio
, basta calcular a distância de O a A:
Resposta
A equação da esfera é