1.5 Encontre a equação da esfera que contém os pontos A=
D=(0,0, raiz2) e sobre um grande círculo.

Passo 1

O enunciado pede a equação da esfera que contém os pontos A=(0,1,0), C=(√3/2,−1/2,0) e D=(0,0,√2) sobre um grande círculo. Como num grande círculo o centro da esfera é também o centro do círculo determinado por A, C e D, vamos achar o ponto O=(x,y,z) que é equidistante de A, C e D e pertence ao plano desses três pontos.

Passo 2

Para começar, encontramos a equação do plano que passa por A, C e D. Calculamos os vetores AC e AD, fazemos o produto vetorial para achar um normal n e, a partir de A, escrevemos
3raiz2,x + raiz6,(y-1) + raiz3,z = 0
que pode ser reescrita como
3raiz2,x + raiz6,y + raiz3,z - raiz6 = 0

Passo 3

Em seguida impomos que O seja equidistante de A e C. Ou seja,
|O-A|^2 = |O-C|^2
que, ao desenvolver, dá a relação linear
raiz3,x - 3,y = 0
ou seja y = x/raiz3.

Passo 4

Depois impomos que O seja equidistante de A e D:
|O-A|^2 = |O-D|^2
o que resulta em
-2y + 2raiz2,z - 1 = 0
ou ainda
$$
z = \frac{y + 1/2}{\sqrt2}.$$

Passo 5

Agora resolvemos o sistema formado por
  1. y = x/raiz3
  2. z = (y+1/2)/raiz2
  3. 3raiz2,x + raiz6,y + raiz3,z - raiz6 = 0.
    Substituindo (1) e (2) na equação do plano, obtemos
x = raiz36, y = 16, z = raiz23

Passo 6

Para achar o raio R, basta calcular a distância de O a A:
R = |O - A| = 1

Resposta

A equação da esfera é
l(x - tfracraiz36r)^2 + l(y - tfrac16r)^2 + l(z - tfracraiz23r)^2 = 1

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