Resolva a equação de Laplace
, onde
é um campo escalar de classe
, e
denota o raio, em coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
assumindo que
depende apenas da coordenada radial em cilindricas. O conteúdo aqui é Laplace em coordenadas cilíndricas e vamos usar a forma do laplaciano quando
não depende de
nem de
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, o laplaciano de uma função que depende só de
é dado por
Como
, obtemos a ODE
que equivale a
Passo 3
Integrando a equação
uma vez, temos
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 4
Integrando de novo
, chegamos à solução geral
onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação de Laplace é
com
e
constantes arbitrárias.