Resolva a equação de Laplace nabla^2 f=0, onde f= f(rho) é um campo escalar de classe C^2, e rho denota o raio, em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace nabla^2 f=0 assumindo que f=f(rho) depende apenas da coordenada radial em cilindricas. O conteúdo aqui é Laplace em coordenadas cilíndricas e vamos usar a forma do laplaciano quando f não depende de phi nem de z.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, o laplaciano de uma função que depende só de rho é dado por
nabla^2 f=1rhoddrhol(rhodfdrhor)
Como nabla^2 f=0, obtemos a ODE
1rhoddrhol(rho f'(rho)r)=0
que equivale a
ddrhol(rho f'(rho)r)=0

Passo 3

Integrando a equação ddrho(rho f')=0 uma vez, temos
rho f'(rho)=C1,
onde C1 é constante de integração. Portanto
f'(rho)=C1rho

Passo 4

Integrando de novo f'(rho)=C1/rho, chegamos à solução geral
f(rho)=C1lnrho+C2,
onde C2 é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação de Laplace é
f(rho)=Alnrho+B,
com A e B constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados