Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
b) y = x^3 e y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pelas curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, que são usadas para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, quais são os valores de onde é igual a . Para isso, igualamos as duas expressões:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se encontram nos pontos e .

Passo 4

Com os pontos de interseção conhecidos, vamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para valores de entre 0 e 1:
  • está acima de porque, por exemplo, para :
Então, nesse intervalo.

Passo 5

Agora, usamos a integral definida para calcular a área entre as curvas. A fórmula para a área é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, substituímos os limites de integração:
Para :
Para :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados