Calcular a área da região limitada pelas curvas dadas:
b)
e
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, que são usadas para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram, ou seja, quais são os valores de
onde
é igual a
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os pontos de interseção:
Isso nos dá duas soluções:
Então, as curvas se encontram nos pontos
e
.
Passo 4
Com os pontos de interseção conhecidos, vamos identificar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para valores de
entre 0 e 1:
-
está acima de porque, por exemplo, para :
Então,
nesse intervalo.
Passo 5
Agora, usamos a integral definida para calcular a área entre as curvas. A fórmula para a área
é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, substituímos os limites de integração:
Para
:
Para
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.