Encontre f. f''''(t) = cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você quer encontrar uma função cuja quarta derivada seja . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar integrar a função quatro vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter a quarta derivada de igual a . A derivada é uma ferramenta que nos diz como uma função muda. Se sabemos a quarta derivada, precisamos integrar essa função para voltar à função original . Cada integração nos traz uma “camada” de .

Passo 3

Vamos começar integrando a quarta derivada para encontrar a terceira derivada de . A equação que temos é:
Integrando uma vez:
Aqui, é uma constante de integração que aparece quando integramos.

Passo 4

Agora, vamos integrar a terceira derivada para encontrar a segunda derivada:
é outra constante de integração.

Passo 5

Continuando, vamos integrar a segunda derivada para achar a primeira derivada:
Aqui, é mais uma constante de integração.

Passo 6

Finalmente, vamos integrar a primeira derivada para encontrar a função :
Onde é a última constante de integração.

Resposta

A função que satisfaz é:
Onde e são constantes de integração.

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