Calcular as integrais :
f) integral0^2 u 3^u d u

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Esse exercício faz parte da matéria de Cálculo, mais especificamente de Integração por Partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que vamos chamar de integral u cdot 3^u , du e u = u e dv = 3^u , du na fórmula de integração por partes:
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = du e integrar v = integral 3^u , du = 3^uln 3 :
Aqui, usamos a integração de exponenciais onde , com .

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u cdot 3^u , du = u cdot v - integral v cdot du = u cdot 3^uln 3 - integral 3^uln 3 , du
Essa expressão simplifica para:
u cdot 3^uln 3 - 3^u(ln 3)^2 + C
onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de [ u cdot 3^uln 3 - 3^u(ln 3)^2 ]0^2 a ( 2 cdot 3^2ln 3 - 3^2(ln 3)^2 ) - ( 0 cdot 3^0ln 3 - 3^0(ln 3)^2 ) :
18ln 3 - 9(ln 3)^2 + 1(ln 3)^2 = 18ln 3 - 8(ln 3)^2
Substituindo os valores dos limites:
Simplificando:

Passo 6

Para obter um valor numérico, vamos calcular usando 181.0986 approx 16.38 :
8(1.0986)^2 approx 6.63
16.38 - 6.63 approx 9.75
Portanto:

Resposta

A integral é aproximadamente igual a 9,75.

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