Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais. O sistema que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de conhecimentos sobre sistemas lineares de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Isso facilita bastante a resolução. Podemos representar o sistema como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica:
Calculando o determinante:
Explicando: aqui,
é a matriz identidade e estamos subtraindo
de cada elemento diagonal de
. O determinante dessa nova matriz nos dá a equação característica.
Expandindo:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos usar
. Substituindo na equação
:
Resolvendo a primeira equação:
Então, podemos escolher
, o que nos dá
. Portanto, um autovetor correspondente é:
Passo 6
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Como as raízes são complexas, a solução será da forma:
onde
e
, provenientes da parte real e imaginária dos autovalores. Além disso, os vetores
e
são obtidos a partir das partes real e imaginária do autovetor.
Então, substituindo, temos:
Simplificando:
Agrupando termos:
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.