Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. {x1'(t) = x1(t) - x2(t), x2'(t) = 5*x1(t) + 3*x2(t)}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral de um sistema de equações diferenciais. O sistema que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, além de conhecimentos sobre sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Isso facilita bastante a resolução. Podemos representar o sistema como:
onde

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são valores de que satisfazem a equação característica:
Calculando o determinante:
Explicando: aqui, é a matriz identidade e estamos subtraindo de cada elemento diagonal de . O determinante dessa nova matriz nos dá a equação característica.
Expandindo:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores . Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos usar . Substituindo na equação :
Resolvendo a primeira equação:
Então, podemos escolher , o que nos dá . Portanto, um autovetor correspondente é:

Passo 6

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Como as raízes são complexas, a solução será da forma:
onde e , provenientes da parte real e imaginária dos autovalores. Além disso, os vetores e são obtidos a partir das partes real e imaginária do autovetor.
Então, substituindo, temos:
Simplificando:
Agrupando termos:

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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