Calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^3, x+y=0,1 times 5 e y=x+6.

Passo 1

O enunciado pede a área da região plana fechada pelas curvas y=x^3, x+y=0, x=5 e y=x+6. É um problema de cálculo de área por integração de funções, onde vamos precisar achar os pontos de interseção para determinar os limites de integração e depois calcular integrais do tipo integral (superior - inferior),dx.

Passo 2

Primeiro, encontramos as interseções relevantes:
– Entre y=x^3 e y=-x:
x^3 = -x implies x(x^2+1)=0 implies x=0
Ponto: (0,0).
– Entre y=x^3 e y=x+6:
x^3 = x+6 implies x^3 - x - 6 =0
Testando, x=2 é raiz, dá 8-2-6=0. Ponto: (2,8).
– Entre y=-x e x=5: ponto (5,-5).
– Entre y=x+6 e x=5: ponto (5,11).

Passo 3

Visualizando, para fechar a região: de x=0 a x=2 a curva superior é y=x^3 e a inferior é y=-x; de x=2 a x=5 a superior é y=x+6 e a inferior continua y=-x.
Montamos duas integrais para as duas fatias:
A1 = integral0^2l(x^3 -(-x)r),dx = integral0^2(x^3 + x),dx,
A2 = integral2^5l((x+6)-(-x)r),dx = integral2^5(2x+6),dx

Passo 4

Calculando cada uma:
Para A1:
integral0^2(x^3 + x),dx = l[x^44 + x^22r]0^2 = l(164+42r)-0 = 4+2 =6
Para A2:
integral2^5(2x+6),dx = l[x^2+6xr]2^5 = (25+30)-(4+12) =55-16 =39

Passo 5

A área total é a soma das duas partes, ou seja, 6+39=45.

Resposta

45

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