Calcule as integrais abaixo usando o método da substituição. Derive para verificar a solução.
integral sen^3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^3x,dx usando o método de substituição. Vamos usar a identidade trigonométrica sin^2x=1-cos^2x e a substituição u=cos x.

Passo 2

Usando sin^2x=1-cos^2x temos
sin^3x=sin x,(1-cos^2x)
Logo a integral fica
integral sin^3x,dx=integral sin x,(1-cos^2x),dx

Passo 3

Fazendo a substituição u=cos x implica du=-sin x,dx, ou seja sin x,dx=-du. Substituindo na integral:
integral sin x,(1-cos^2x),dx=-integral(1-u^2),du

Passo 4

Expandindo e integrando em u:
-integral(1-u^2),du=-integral1,du+integral u^2,du=-u+u^33+C

Passo 5

Voltando a x (pois u=cos x) obtemos
cos^3x3-cos x+C

Passo 6

Para verificar, derivamos
ddxl(cos^3x3-cos xr)=-cos^2xsin x+sin x=sin x,(1-cos^2x)=sin^3x
confirmando a solução.

Resposta

integralsin^3x,dx=cos^3x3-cos x+C.

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