Mostre que o intervalo de convergência da série é .
Passo 1
O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série . Esse é um caso de série de potências em centrada em . Para resolver, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois analisar separadamente os pontos finais e .
Passo 2
O teste da razão para séries de potências diz que devemos calcular
Aqui temos uma série alternada de termo geral bn=ln(n)n. Note que para n>=3 a função bn é monótona decrescente (pois a derivada de ln(x)/x é negativa para x>e) e limntoinftybn=0. Pelo teste de Leibniz, essa série converge, embora não converja absolutamente (pois sum ln(n)/n diverge).