Mostre que o intervalo de convergência da série sumn=1^infty ln (n)(x-e)^nn e^n é [0,2 e).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o intervalo de convergência da série sumn=1^infty ln(n),(x-e)^nn,e^n. Esse é um caso de série de potências em x centrada em x=e. Para resolver, vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois analisar separadamente os pontos finais x=0 e x=2e.

Passo 2

O teste da razão para séries de potências diz que devemos calcular
L = limntoinfty |an+1(x-e)^n+1an (x-e)^n|,
onde an=ln(n)n,e^n. Substituindo, vem
L = limntoinfty ln(n+1)(n+1)e^n+1 cdot n,e^nln(n) cdot |x-e| = limntoinfty ln(n+1)ln(n) cdot nn+1 cdot |x-e|e = |x-e|e
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja se |x-e|.

Passo 3

Da desigualdade |x-e| obtemos o raio de convergência R=e, logo a conversão acontece em
xin(e-e,,e+e)=(0,2e)
Agora precisamos verificar o comportamento nos extremos x=0 e x=2e, pois o teste da razão é inconclusivo quando L=1.

Passo 4

Para x=0: substituindo na série fica
sumn=1^infty ln(n),(0-e)^nn,e^n = sumn=1^infty (-1)^n ln(n)n
Aqui temos uma série alternada de termo geral bn=ln(n)n. Note que para n>=3 a função bn é monótona decrescente (pois a derivada de ln(x)/x é negativa para x>e) e limntoinftybn=0. Pelo teste de Leibniz, essa série converge, embora não converja absolutamente (pois sum ln(n)/n diverge).

Passo 5

Para x=2e: substituindo na série dá
sumn=1^infty ln(n),(2e-e)^nn,e^n = sumn=1^infty ln(n)n
Essa série é equivalente a sum ln(n)/n, que diverge por comparação com 1/n ou pelo teste da integral, já que
integral^infty ln(x)xdx=(ln(x))^22|^infty=infty

Passo 6

Como converge em x=0, diverge em x=2e e converge para todos os x tais que |x-e|, o intervalo de convergência é fechado em 0 e aberto em 2e.

Resposta

[0,2e)

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