Mostre que se sumn=0^infty cn x^n, então o raio de convergência da série R=1 / c é .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado o limite
limntoinftyraiz[n]|cn|=c,
o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty cnx^n
é exatamente
R=1c
O conteúdo principal envolve a definição de raio de convergência e o teste da raiz (root test).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Sejam
an=cnx^n,
então o teste da raiz diz que a série sum an converge se
L:=limntoinftyraiz[n]|an|<1
e diverge se L>1. No nosso caso:
raiz[n]|an|=raiz[n]|cnx^n|=raiz[n]|cn|cdotraiz[n]|x^n|= raiz[n]|cn|,|x|
Como foi dado que limntoinftyraiz[n]|cn|=c, concluímos
limntoinftyraiz[n]|an|=c,|x|

Passo 3

Da condição do teste da raiz:
  • se c,|x|<1, a série converge;
  • se c,|x|>1, a série diverge.
Isso significa que os valores de x que garantem convergência são exatamente aqueles com
|x|<1c
Portanto, pelo conceito de raio de convergência, temos
R=1c

Resposta

R=1/c

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