Mostre que se
, então o raio de convergência da série
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado o limite
o raio de convergência da série de potências
é exatamente
O conteúdo principal envolve a definição de raio de convergência e o teste da raiz (root test).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Sejam
então o teste da raiz diz que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso:
Como foi dado que
, concluímos
Passo 3
Da condição do teste da raiz:
- se
, a série converge; - se
, a série diverge.
Isso significa que os valores de
que garantem convergência são exatamente aqueles com
Portanto, pelo conceito de raio de convergência, temos
Resposta
R=1/c