Calcular a área da região R delimitada pelas curvas
x=y^2+1 e x+y=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas x = y^2 + 1 e x + y = 3. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do tópico de integrais para encontrar áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar onde as curvas se interceptam e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso significa encontrar os valores de y (e consequentemente de x) que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Temos:
x = y^2 + 1
x + y = 3
Substituindo x da primeira equação na segunda:
(y^2 + 1) + y = 3
y^2 + y + 1 = 3
y^2 + y - 2 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de y.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática y^2 + y - 2 = 0:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = 1, e c = -2.
Calculando:
De
y = -1 pm raiz92 = -1 pm 32
Então temos duas soluções para y:
y = -1 + 32 = 1
y = -1 - 32 = -2
Portanto, as interseções estão nos pontos onde y = 1 e y = -2.

Passo 4

Agora que temos os valores de y onde as curvas se cruzam, vamos encontrar os correspondentes valores de x.
Usando x + y = 3:
Para y = 1:
x = 3 - y = 3 - 1 = 2
Para y = -2:
x = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5
Então, os pontos de interseção são (2, 1) e (5, -2).

Passo 5

Agora, precisamos determinar qual das curvas está à direita ou à esquerda dentro do intervalo de y = -2 a y = 1. Olhando as equações:
x = y^2 + 1
x = 3 - y
Vamos comparar x para alguns valores de y dentro desse intervalo. Por exemplo, para y = 0:
x = 0^2 + 1 = 1
x = 3 - 0 = 3
Aqui, x = 3 é maior que x = 1, então a reta x = 3 - y está à direita da parábola x = y^2 + 1 nesse ponto. Em geral, x = 3 - y estará à direita de x = y^2 + 1 no intervalo considerado.

Passo 6

Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções no intervalo de integração:
Área = integrala^b (xdireita - xesquerda) , dy Á
Aqui, xdireita = 3 - y e xesquerda = y^2 + 1, e os limites de integração são y = -2 e y = 1.

Passo 7

Vamos configurar a integral:
Área = integral-2^1 [(3 - y) - (y^2 + 1)] , dy Á
= integral-2^1 (3 - y - y^2 - 1) , dy
= integral-2^1 (-y^2 - y + 2) , dy

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
integral (-y^2 - y + 2) , dy = -y^33 - y^22 + 2y + C
Avaliado de y = -2 a y = 1:
Para y = 1:
-1^33 - 1^22 + 2(1) = -13 - 12 + 2 = -56 + 2 = 76
Para y = -2:
-(-2)^33 - (-2)^22 + 2(-2) = --83 - 42 - 4 = 83 - 2 - 4 = 83 - 6 = -103

Resposta

A área da região R é:
76 - (-103) = 76 + 103 = 76 + 206 = 276 = 92
Portanto, a área é 92 unidades quadradas.

Exercícios relacionados