Calcular a área da região R delimitada pelas curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região delimitada pelas curvas
e
. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente do tópico de integrais para encontrar áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar onde as curvas se interceptam e depois integrar a diferença entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se cruzam. Isso significa encontrar os valores de
(e consequentemente de
) que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.
Temos:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando:
Então temos duas soluções para
:
Portanto, as interseções estão nos pontos onde
e
.
Passo 4
Agora que temos os valores de
onde as curvas se cruzam, vamos encontrar os correspondentes valores de
.
Usando
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar qual das curvas está à direita ou à esquerda dentro do intervalo de
a
. Olhando as equações:
Vamos comparar
para alguns valores de
dentro desse intervalo. Por exemplo, para
:
Aqui,
é maior que
, então a reta
está à direita da parábola
nesse ponto. Em geral,
estará à direita de
no intervalo considerado.
Passo 6
Para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida da diferença das funções no intervalo de integração:
Aqui,
e
, e os limites de integração são
e
.
Passo 7
Vamos configurar a integral:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliado de
a
:
Para
:
Para
:
Resposta
A área da região R é:
Portanto, a área é
unidades quadradas.