3^{\circ} )Calcule as integrais definidas fazendo a substituição u apropriada: \int_{1}^{2} \sqrt{1+\frac{4}{9 x^{2 / 3}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \sqrt{1+\frac{4}{9 x^{2/3}}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\sqrt{1+\frac{4}{9 x^{2/3}}},\qquad \text{limites: }x=1\text{ e }x=2.
Nada mais será assumido; vamos transformar essa integral com uma substituição adequada para torná-la fácil de calcular.
Passo 2
Observação e escolha da substituição. Dentro da raiz aparece x^{2/3}. Uma substituição natural que simplifica potências com 1/3 e 2/3 é definir
t = x^{1/3}.
Explico por que: se t=x^{1/3} então x=t^3 e x^{2/3}=t^2, o que vai limpar o denominador dentro da raiz. Como x vai de 1 a 2 e x^{1/3} é crescente, os novos limites em t são