3^{\circ} )Calcule as integrais definidas fazendo a substituição u apropriada:
\int_{1}^{2} \sqrt{1+\frac{4}{9 x^{2 / 3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \sqrt{1+\frac{4}{9 x^{2/3}}}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\sqrt{1+\frac{4}{9 x^{2/3}}},\qquad \text{limites: }x=1\text{ e }x=2.
Nada mais será assumido; vamos transformar essa integral com uma substituição adequada para torná-la fácil de calcular.

Passo 2

Observação e escolha da substituição. Dentro da raiz aparece x^{2/3}. Uma substituição natural que simplifica potências com 1/3 e 2/3 é definir
t = x^{1/3}.
Explico por que: se t=x^{1/3} então x=t^3 e x^{2/3}=t^2, o que vai limpar o denominador dentro da raiz. Como x vai de 1 a 2 e x^{1/3} é crescente, os novos limites em t são
t_1 = 1^{1/3} = 1,\qquad t_2 = 2^{1/3} = \sqrt[3]{2}.
Agora calculamos dx em função de t. Derivando x=t^3 temos
dx = 3t^2\,dt.

Passo 3

Substituímos x=t^3 e dx=3t^2\,dt no integrando e simplificamos passo a passo. Primeiro transformamos a expressão dentro da raiz:
1+\frac{4}{9x^{2/3}} = 1+\frac{4}{9t^2} = \frac{9t^2+4}{9t^2}.
Portanto
\sqrt{1+\frac{4}{9x^{2/3}}} = \sqrt{\frac{9t^2+4}{9t^2}} = \frac{\sqrt{9t^2+4}}{3t},
onde usamos que t>0 no intervalo considerado (pois t=x^{1/3} e x\ge1). Multiplicando pelo dx temos
\sqrt{1+\frac{4}{9x^{2/3}}}\,dx = \frac{\sqrt{9t^2+4}}{3t}\cdot 3t^2\,dt = t\sqrt{9t^2+4}\,dt.
Assim a integral em x transforma-se na integral em t
\int_{1}^{2} \sqrt{1+\frac{4}{9x^{2/3}}}\,dx = \int_{1}^{\sqrt[3]{2}} t\sqrt{9t^2+4}\,dt.

Passo 4

Nova substituição para resolver \int t\sqrt{9t^2+4}\,dt. Note que a expressão dentro da raiz é uma função quadrática em t. Tomamos
u = 9t^2+4.
Derivando,
du = 18t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt = \frac{du}{18}.
Substituindo na integral obtemos
\int t\sqrt{9t^2+4}\,dt = \int \sqrt{u}\cdot\frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int u^{1/2}\,du.
Agora calculamos a primitiva de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{18} obtemos a primitiva da forma original:
\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{27}u^{3/2}.

Passo 5

Voltando para a variável t (lembrando que u=9t^2+4) e avaliando entre os limites t=1 e t=\sqrt[3]{2}, a integral definida vale
\left.\frac{1}{27}\big(9t^2+4\big)^{3/2}\right|_{t=1}^{t=\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{27}\Big(\big(9(\sqrt[3]{2})^{2}+4\big)^{3/2} - \big(9\cdot1^{2}+4\big)^{3/2}\Big).
Podemos reescrever (\sqrt[3]{2})^{2} como 2^{2/3}. Assim o resultado final é
\frac{1}{27}\Big(\big(9\cdot 2^{2/3}+4\big)^{3/2} - 13^{3/2}\Big).

Resposta

\frac{1}{27}\Big(\big(9\cdot 2^{2/3}+4\big)^{3/2} - 13^{3/2}\Big)

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