Calcule as integrais abaixo
\int_{0}^{\pi} \cos (x) \mathrm{e}^{\operatorname{sen}(x)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)},\qquad\text{intervalo: }[0,\pi].
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?

Passo 2

Observe que a função \mathrm{e}^{\sin(x)} tem derivada relativamente simples por conta da regra da cadeia. Vou explicar essa regra de forma bem direta: se tivermos uma função composta F(x)=\mathrm{e}^{u(x)}, então, pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{u(x)}\big)=u'(x)\,\mathrm{e}^{u(x)}.
Aqui u(x) é uma função qualquer e u'(x) é a sua derivada. Isso acontece porque a derivada de \mathrm{e}^{t} em relação a t é \mathrm{e}^{t}, e multiplicamos pela derivada interna u'(x).

Passo 3

Apliquemos isso com u(x)=\sin(x). Então u'(x)=\cos(x) e, usando a fórmula anterior,
\frac{d}{dx}\big(\mathrm{e}^{\sin(x)}\big)=\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}.
Note que esse resultado é exatamente o integrando da nossa integral. Ou seja, o integrando é a derivada de \mathrm{e}^{\sin(x)}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se F'(x)=f(x) então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui podemos escolher F(x)=\mathrm{e}^{\sin(x)} e f(x)=\cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}. Portanto
\int_{0}^{\pi} \cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}\,dx = \big[\mathrm{e}^{\sin(x)}\big]_{0}^{\pi} = \mathrm{e}^{\sin(\pi)}-\mathrm{e}^{\sin(0)}.

Passo 5

Calculemos os senos nos extremos: \sin(0)=0 e \sin(\pi)=0. Assim
\mathrm{e}^{\sin(\pi)}-\mathrm{e}^{\sin(0)}=\mathrm{e}^{0}-\mathrm{e}^{0}=1-1=0.
Como verificação alternativa (mesma ideia, de forma mecânica): faça a substituição u=\sin(x), daí du=\cos(x)\,dx; os limites mudam para u(0)=0 e u(\pi)=0, ficando
\int_{0}^{\pi} \cos(x)\,\mathrm{e}^{\sin(x)}\,dx = \int_{0}^{0} \mathrm{e}^{u}\,du = 0,
pois integrar entre os mesmos limites dá zero. Isso confirma o cálculo acima.

Resposta

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