Calcule as integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral?
Passo 2
Observe que a função
tem derivada relativamente simples por conta da regra da cadeia. Vou explicar essa regra de forma bem direta: se tivermos uma função composta
, então, pela regra da cadeia,
Aqui
é uma função qualquer e
é a sua derivada. Isso acontece porque a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 3
Apliquemos isso com
. Então
e, usando a fórmula anterior,
Note que esse resultado é exatamente o integrando da nossa integral. Ou seja, o integrando é a derivada de
.
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
então
Aqui podemos escolher
e
. Portanto
Passo 5
Calculemos os senos nos extremos:
e
. Assim
Como verificação alternativa (mesma ideia, de forma mecânica): faça a substituição
, daí
; os limites mudam para
e
, ficando
pois integrar entre os mesmos limites dá zero. Isso confirma o cálculo acima.