Calcular a area de S e integral duplaS f d S para :
f(x, y, z)=x e ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da superfície S definida por z=√(x²+y²) entre z=0 e z=1 e, em seguida, avaliar a integral de superfície ∬_S f dS com f(x,y,z)=x. O conteúdo principal aqui é parametrização de superfícies e cálculo de dS via produto vetorial.

Passo 2

Para parametrizar S usamos coordenadas polares projetadas na superfície cônica. Definimos
X(r,theta)=(rcostheta,;rsintheta,;r),
com 0≤r≤1 e 0≤θ≤2π. Calculamos as derivadas parciais e o produto vetorial para obter o elemento de área:
Xr=(costheta,;sintheta,;1),Xtheta=(-rsintheta,;rcostheta,;0),
XrtimesXtheta=( -rcostheta,;-rsintheta,;r),
cuja norma é
|XrtimesXtheta|=rraiz2
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dS=rraiz2,dr,dtheta

Passo 3

Para a área de S integramos dS sobre o domínio de (r,θ):
A=integral0^2piintegral0^1rraiz2,dr,dtheta =raiz2integral0^2pidthetaintegral0^1r,dr =raiz2(2pi)12=piraiz2

Passo 4

Para a integral de superfície ∬_S f dS substituímos f=x= r cosθ e usamos o mesmo dS:
integral duplaS f,dS=integral0^2piintegral0^1(rcostheta)(rraiz2),dr,dtheta =raiz2integral0^2picostheta,dthetaintegral0^1r^2,dr =raiz2cdot0cdot13=0

Resposta

A área é piraiz2 e integral duplaSf,dS=0.

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