Calcular a area de
e
para :
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da superfície S definida por z=√(x²+y²) entre z=0 e z=1 e, em seguida, avaliar a integral de superfície ∬_S f dS com f(x,y,z)=x. O conteúdo principal aqui é parametrização de superfícies e cálculo de dS via produto vetorial.
Passo 2
Para parametrizar S usamos coordenadas polares projetadas na superfície cônica. Definimos
com 0≤r≤1 e 0≤θ≤2π. Calculamos as derivadas parciais e o produto vetorial para obter o elemento de área:
cuja norma é
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Passo 3
Para a área de S integramos dS sobre o domínio de (r,θ):
Passo 4
Para a integral de superfície ∬_S f dS substituímos f=x= r cosθ e usamos o mesmo dS:
Resposta
A área é
e
.