1.9 Calcule a menor distância da reta x=1+t, y=1-2 t, z=3-t para a origem (0,0,0).
Solução: Seja f(t) o quadrado da distância do ponto (1+t, 1-2 t, 3-t) ao ponto (0,0,0). Então
f(t)=(1+t)^2+(1-2 t)^2+(3-t)^2=6 t^2-8 t+11
O mínimo de f acontece para f^prime(t)=0. Como
f^prime(t)=12 t-8
teremos que o zero acontece para t=2 / 3. Como
f^prime prime(23)=12>0
pelo teste da segunda derivada teremos que a menor distância da origem a reta é .

Passo 1

O enunciado pede a menor distância da reta dada por x=1+t, y=1−2t, z=3−t até a origem (0,0,0). O conteúdo envolve distância de um ponto em ℝ³ até a reta e otimização de uma função de parâmetro t usando derivadas.

Passo 2

Para achar essa distância, escolhemos um ponto genérico na reta P(t)=(1+t, 1−2t, 3−t) e definimos a função do quadrado da distância até a origem. Usamos a fórmula de distância em ℝ³ e trabalhamos com o quadrado para evitar raiz.
f(t) = (1+t)^2 + (1 - 2t)^2 + (3 - t)^2

Passo 3

Expandimos os quadrados e agrupamos termos para escrever f(t) como um polinômio quadrático.
f(t) = (1 + 2t + t^2) + (1 - 4t + 4t^2) + (9 - 6t + t^2) = 6t^2 - 8t + 11

Passo 4

Para encontrar o mínimo de f, derivamos em relação a t e igualamos a zero:
– Derivada: f’(t) = 12t - 8
– Condição de crítico: 12t - 8 = 0 ⇒ t = 2/3
– Teste da segunda derivada: f’’(t) = 12 > 0, logo é mínimo

Passo 5

Substituímos t = 2/3 em f(t) para achar o valor mínimo do quadrado da distância:
fl(tfrac23r) = 6l(tfrac23r)^2 - 8l(tfrac23r) + 11 = tfrac253
Daí a menor distância é d=raiz25/3.

Resposta

5raiz33

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