1.9 Calcule a menor distância da reta
para a origem
.
Solução: Seja
o quadrado da distância do ponto
ao ponto
. Então
O mínimo de
acontece para
. Como
teremos que o zero acontece para
. Como
pelo teste da segunda derivada teremos que a menor distância da origem a reta é
.
Passo 1
O enunciado pede a menor distância da reta dada por x=1+t, y=1−2t, z=3−t até a origem (0,0,0). O conteúdo envolve distância de um ponto em ℝ³ até a reta e otimização de uma função de parâmetro t usando derivadas.
Passo 2
Para achar essa distância, escolhemos um ponto genérico na reta P(t)=(1+t, 1−2t, 3−t) e definimos a função do quadrado da distância até a origem. Usamos a fórmula de distância em ℝ³ e trabalhamos com o quadrado para evitar raiz.
Passo 3
Expandimos os quadrados e agrupamos termos para escrever f(t) como um polinômio quadrático.
Passo 4
Para encontrar o mínimo de f, derivamos em relação a t e igualamos a zero:
– Derivada: f’(t) = 12t - 8
– Condição de crítico: 12t - 8 = 0 ⇒ t = 2/3
– Teste da segunda derivada: f’’(t) = 12 > 0, logo é mínimo
– Condição de crítico: 12t - 8 = 0 ⇒ t = 2/3
– Teste da segunda derivada: f’’(t) = 12 > 0, logo é mínimo
Passo 5
Substituímos t = 2/3 em f(t) para achar o valor mínimo do quadrado da distância:
Daí a menor distância é
.