Calcular a massa de uma lâmina plana quadrada de 4 cm de lado, com densidade de massa constante. \left(\mathrm{M}=\iint_{R} \rho(x, y) d A\right)

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina plana em forma de quadrado de lado 4 cm, cuja densidade de massa é constante. O modelo matemático é
M = \iint_{R} \rho(x,y)\,dA
onde R é o quadrado e \rho(x,y)\equiv \rho_{0} é a densidade constante.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cartesianas de modo que
R = \{(x,y)\mid 0 \le x \le 4,\;0 \le y \le 4\}.
Neste caso a densidade vale \rho_{0} em todo o domínio.

Passo 3

Substituímos \rho(x,y)=\rho_{0} na integral dupla e fatoramos \rho_{0}:
M = \iint_{R} \rho_{0}\,dA = \rho_{0} \iint_{R} dA.

Passo 4

Calculemos a área de R por integração:
\iint_{R} dA = \int_{y=0}^{4}\!\int_{x=0}^{4} dx\,dy = \int_{0}^{4} \Bigl[\int_{0}^{4} dx\Bigr] dy = \int_{0}^{4} 4\,dy = 4 \cdot 4 = 16.

Passo 5

Logo, a massa da lâmina é
M = \rho_{0} \times 16 = 16\,\rho_{0}.

Resposta

M = 16\,\rho_{0}.

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