Calcular o volume do sólido delimitado por
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica
pelo plano
e pelo plano
e pelo plano
O conteúdo que vamos usar é cálculo de volume por integração iterada:
- Expressar o volume como
em coordenadas cartesianas ou polares.
2. Identificar a região de projeção em que
.
3. Resolver a integral dupla.
2. Identificar a região de projeção
3. Resolver a integral dupla.
Passo 2
Como a “tampa” do sólido é
e o “fundo” é
, o volume é
onde
Passo 3
É mais fácil escrever
onde
Logo
No disco total temos
Então
Fica
Passo 4
Note que, em
, a quantidade
é negativa. Para simplificar, calculamos
e depois
.
Para integrar sobre fazemos a rotação de
:
defina
Para integrar sobre
defina
então
e a reta
vira
.
Em coordenadas ,
Em coordenadas
e
Passo 5
Usamos a fórmula clássica para um segmento circular de raio
cortado pela reta
:
- Área do segmento
- Primeiro momento em
Aqui
.
Logo
Logo
Como
,
Portanto
Reunindo frações de
:
Passo 6
Finalmente