Calcular o volume do sólido delimitado por x^{2}+y^{2}=4, z=0 e x+ y+z=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície cilíndrica
x^{2}+y^{2}=4,
pelo plano z=0
e pelo plano
x+y+z=1\quad\bigl(\text{i.e. }z=1 - x - y\bigr).
O conteúdo que vamos usar é cálculo de volume por integração iterada:
  1. Expressar o volume como
V=\iint_{D}\bigl(z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}\bigr)\,dA
em coordenadas cartesianas ou polares.
2. Identificar a região de projeção D\subset\mathbb{R}^2 em que z_{\text{top}}\ge z_{\text{bot}}.
3. Resolver a integral dupla.

Passo 2

Como a “tampa” do sólido é z=1-x-y e o “fundo” é z=0, o volume é
V=\iint_{D}\bigl(1 - x - y\bigr)\,dA,
onde
D=\bigl\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;1-x-y\ge0\bigr\} =\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4,\;x+y\le1\}.

Passo 3

É mais fácil escrever
D = \underbrace{\{x^{2}+y^{2}\le4\}}_{\text{disco de raio 2}} \;\setminus\; E,
onde
E=\{x^{2}+y^{2}\le4,\;x+y>1\}.
Logo
V =\iint_{\text{disco}}(1-x-y)\,dA \;-\;\iint_{E}(1-x-y)\,dA.
No disco total temos
\iint_{\text{disco}}x\,dA =\iint_{\text{disco}}y\,dA=0, \quad \iint_{\text{disco}}1\,dA =\pi\cdot2^{2}=4\pi.
Então
\iint_{\text{disco}}(1-x-y)\,dA=4\pi.
Fica
V = 4\pi \;-\;\iint_{E}(1-x-y)\,dA.

Passo 4

Note que, em E, a quantidade 1-x-y é negativa. Para simplificar, calculamos
\iint_{E}(x+y-1)\,dA =-\iint_{E}(1-x-y)\,dA,
e depois V=4\pi+\iint_{E}(x+y-1)\,dA.
Para integrar sobre E fazemos a rotação de 45^\circ:
defina
U=\frac{x+y}{\sqrt2}, \quad V=\frac{x-y}{\sqrt2},
então x^{2}+y^{2}=U^{2}+V^{2} e a reta x+y=1 vira U=1/\sqrt2.
Em coordenadas (U,V),
E=\{U^{2}+V^{2}\le4,\;U>1/\sqrt2\},
e
x+y=\sqrt2\,U, \quad dA=dU\,dV.

Passo 5

Usamos a fórmula clássica para um segmento circular de raio R=2 cortado pela reta U=k=1/\sqrt2:
  1. Área do segmento
A =R^{2}\operatorname{arccos}\Bigl(\frac{k}{R}\Bigr) -k\sqrt{R^{2}-k^{2}},
  1. Primeiro momento em U
\iint_{E}U\,dA =\frac{4}{3}\bigl(R^{2}-k^{2}\bigr)^{3/2}.
Aqui R^{2}-k^{2}=4-\tfrac12=\tfrac72.
Logo
\iint_{E}1\,dA =A =4\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr) -\frac{\sqrt7}{2},
\iint_{E}U\,dA =\frac{4}{3}\Bigl(\tfrac72\Bigr)^{\!3/2} =\frac{7\sqrt{14}}{3}.
Como x+y=\sqrt2\,U,
\iint_{E}(x+y)\,dA =\sqrt2\;\iint_{E}U\,dA =\sqrt2\;\frac{7\sqrt{14}}{3} =\frac{14\sqrt7}{3}.
Portanto
\iint_{E}(x+y-1)\,dA =\frac{14\sqrt7}{3} -\Bigl[4\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{4}\bigr) -\tfrac{\sqrt7}{2}\Bigr] =\frac{14\sqrt7}{3}+\frac{\sqrt7}{2} -4\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{4}\bigr).
Reunindo frações de \sqrt7:
\frac{14\sqrt7}{3}+\frac{\sqrt7}{2} =\sqrt7\bigl(\tfrac{14}{3}+\tfrac12\bigr) =\sqrt7\cdot\tfrac{31}{6} =\frac{31\sqrt7}{6}.

Passo 6

Finalmente
V =4\pi \;+\;\iint_{E}(x+y-1)\,dA =4\pi -4\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr) +\frac{31\sqrt7}{6}.

Resposta

V = 4\pi \;-\;4\operatorname{arccos}\!\Bigl(\tfrac{\sqrt2}{4}\Bigr)\;+\;\frac{31\sqrt7}{6}.

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