Calcular a área da superfície inferior do parabolóide x^2+y^2-z=0 delimitado pelo plano z=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular a área da superfície inferior do parabolóide x^2 + y^2 - z = 0 limitada pelo plano z = 4 . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Vamos precisar usar derivadas parciais e mudar para coordenadas polares para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. O parabolóide é dado por z = x^2 + y^2 . Queremos a área dessa superfície que está abaixo do plano z = 4 . Isso significa que estamos interessados na região onde x^2 + y^2 <= 4 , já que quando z = 4 , x^2 + y^2 = 4 .

Passo 3

Para calcular a área da superfície z = x^2 + y^2 , usamos a fórmula da área de superfície para funções de duas variáveis:
A = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial zpartial x = 2x e partial zpartial y = 2y
Substituindo na fórmula da área:
A = integral duplaD raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta . Nesse sistema, x^2 + y^2 = r^2 e o elemento de área dx , dy vira r , dr , dtheta .
Nossa região D então é 0 <= r <= 2 (já que r^2 <= 4 ) e 0 <= theta <= 2pi . Substituindo na integral:
A = integral0^2pi integral0^2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a r :
integral0^2 r raiz1 + 4r^2 , dr
Fazemos uma substituição u = 1 + 4r^2 , então du = 8r , dr ou du8 = r , dr . Quando r = 0 , u = 1 e quando r = 2 , u = 17 . A integral fica:
18 integral1^17 raizu , du = 18 cdot 23 u^3/2 |1^17 = 112 (17^3/2 - 1)
Simplificando:
112 (17raiz17 - 1)
Agora, retornamos à integral externa:
A = integral0^2pi 112 (17raiz17 - 1) dtheta = 112 (17raiz17 - 1) cdot 2pi = pi6 (17raiz17 - 1)

Resposta

A área da superfície inferior do parabolóide delimitado pelo plano z = 4 é:
A = pi6 (17raiz17 - 1) approx 23,19 , unidades de área á

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