Calcular a área da superfície inferior do parabolóide delimitado pelo plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para calcular a área da superfície inferior do parabolóide limitada pelo plano . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente o cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Vamos precisar usar derivadas parciais e mudar para coordenadas polares para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que estamos lidando. O parabolóide é dado por . Queremos a área dessa superfície que está abaixo do plano . Isso significa que estamos interessados na região onde , já que quando , .
Passo 3
Para calcular a área da superfície , usamos a fórmula da área de superfície para funções de duas variáveis:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, e o elemento de área vira .
Nossa região então é (já que ) e . Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazemos uma substituição , então ou . Quando , e quando , . A integral fica: