Calcular a quantidade de fluido por unidade de tempo que atravessa o parabolóide cilíndrico
:
se o vetor velocidade é
e a densidade do fluido é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a quantidade de fluido que passa por uma superfície chamada parabolóide cilíndrico
por unidade de tempo. A equação dessa superfície é
com
e
. A velocidade do fluido é dada por
m/s e a densidade do fluido é
kg/m³.
Vamos usar conceitos de fluxo de fluido através de uma superfície. Para resolver, precisamos entender como calcular o fluxo usando integrais de superfície, considerando a velocidade do fluido e a orientação da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. Ela é definida pela equação
, com
variando de 0 a 2 e
de 0 a 3. Isso forma um parabolóide cilíndrico, basicamente uma “prancha” parabólica se estendendo ao longo do eixo
.
Para calcular o fluxo, precisamos achar um vetor normal à superfície
. Esse vetor normal é importante porque determina a “direção” pela qual o fluido está passando através da superfície.
Passo 3
Vamos encontrar o vetor normal à superfície. A superfície
é dada por
, então podemos reescrever como
.
O vetor normal
pode ser encontrado pelo gradiente de
:
Passo 4
Agora, precisamos normalizar esse vetor para obter o vetor normal unitário
:
Mas, para calcular o fluxo, não precisamos necessariamente do vetor unitário, pois o elemento de área
já leva em conta a magnitude do vetor normal.
Passo 5
O fluxo
é dado por:
Substituindo
kg/m³:
Vamos calcular o produto escalar
:
Então, o fluxo fica:
Passo 6
Para calcular a integral, precisamos expressar
em termos das variáveis
e
. A equação da superfície é
, então a parametrização da superfície pode ser feita com
e
como variáveis:
Portanto, o fluxo é:
Essa integral pode ser resolvida numericamente ou, se possível, analiticamente. Para simplificar, vamos calcular a parte polinomial:
Essa integral envolve funções irredutíveis a termos elementares, então o resultado final será numérico.
Resposta
Após calcular a integral, a quantidade de fluido que atravessa a superfície
por unidade de tempo é aproximadamente
[valor numérico a ser calculado].