[Seção 7.2] Calcule a integral.
[3] integral0^pi / 2 sen^7(theta) cos ^5(theta) d theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral0^pi/2sin^7(theta),cos^5(theta),dtheta
O conteúdo envolvido é a integração de potências de seno e cosseno. Como o expoente de cos é ímpar, isolamos um fator cos(theta) para usar a substituição u=sin(theta).

Passo 2

Escrevemos
cos^5(theta)=cos^4(theta),cos(theta) =(1-sin^2(theta))^2,cos(theta),
logo a integral vira
integral0^pi/2sin^7(theta),l(1-sin^2(theta)r)^2cos(theta),dtheta

Passo 3

Fazemos a substituição
u=sin(theta), du=cos(theta),dtheta,
e os limites theta=0mapsto u=0, theta=pi/2mapsto u=1. Assim
integral0^pi/2sin^7(theta),(1-sin^2(theta))^2cos(theta),dtheta =integral0^1u^7,(1-u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o polinômio:
(1-u^2)^2=1-2u^2+u^4,
portanto
integral0^1u^7(1-2u^2+u^4),du =integral0^1l(u^7-2u^9+u^11r),du
Integramos termo a termo:
integral0^1u^7,du=18, integral0^1u^9,du=110, integral0^1u^11,du=112

Passo 5

Substituindo os resultados:
integral0^1l(u^7-2u^9+u^11r),du =18-2cdot110+112 =18-15+112 =15-24+10120 =1120

Resposta

1120

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