Resolva as seguintes EDO
d yd t-4 t-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do primeiro grau. A equação dada é:
d yd t - 4 t - 2 y = 0
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender um pouco sobre EDOs lineares e como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma EDO linear:
d yd t + P(t) y = Q(t)
Comparando com a nossa equação:
d yd t - 2 y = 4 t
Então, temos que P(t) = -2 e Q(t) = 4 t .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante ( mu(t) ) é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) , dt
Substituindo P(t) = -2 :
mu(t) = e^integral -2 , dt = e^-2 t

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-2 t cdot d yd t - 2 e^-2 t y = 4 t e^-2 t
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de y cdot e^-2 t :
dd t ( y cdot e^-2 t ) = 4 t e^-2 t

Passo 5

Para encontrar y , vamos integrar ambos os lados da equação:
integral dd t ( y cdot e^-2 t ) dt = integral 4 t e^-2 t dt
A integral do lado esquerdo é simplesmente y cdot e^-2 t . Agora, vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Para integrar 4 t e^-2 t , usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
  • u = t du = dt
  • dv = e^-2 t dt v = -12 e^-2 t
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = u v - integral v , du ):
integral t e^-2 t dt = -12 t e^-2 t + 12 integral e^-2 t dt = -12 t e^-2 t - 14 e^-2 t + C
Multiplicando por 4:
4 integral t e^-2 t dt = -2 t e^-2 t - e^-2 t + C

Passo 7

Voltando à nossa equação integrada:
y cdot e^-2 t = -2 t e^-2 t - e^-2 t + C
Para isolar y , multiplicamos ambos os lados por e^2 t :
y = (-2 t - 1) + C e^2 t

Resposta

A solução geral da EDO é:
y(t) = -2 t - 1 + C e^2 t

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