Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é do primeiro grau. A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante. Vamos precisar entender um pouco sobre EDOs lineares e como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão de uma EDO linear:
Comparando com a nossa equação:
Então, temos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada de
:
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Agora, vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Para integrar
, usamos o método de integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Multiplicando por 4:
Passo 7
Voltando à nossa equação integrada:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da EDO é: