Utilizando o Exercício 9, fatore o polinômio do 2 ^circ grau dado.
a) x^2-3 x+2
b) x^2-x-2
c) x^2-2 x+1
d) x^2-6 x+9
e) 2 x^2-3 x
f) 2 x^2-3 x+1
g) x^2-25
h) 3 x^2+x-2

Passo 1

Vamos resolver o item a), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau x^2 - 3x + 2. Usaremos a fatoração de trinomiais, que envolve encontrar dois números que multiplicados dão o termo independente (2) e somados dão o coeficiente de x (-3).

Passo 2

Precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em 2 e que, somados, resultem em -3. Esses números são -1 e -2.

Passo 3

Com esses números, podemos reescrever o polinômio:
x^2 - x - 2x + 2

Passo 4

Agora, agrupamos os termos:
(x^2 - x) + (-2x + 2)

Passo 5

Fatorando cada grupo:
x(x - 1) - 2(x - 1)

Passo 6

Fatorando o fator comum (x - 1):
(x - 1)(x - 2)

Passo 7

Vamos resolver o item b), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau x^2 - x - 2. Usaremos a fatoração de trinomiais, procurando dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1.

Passo 8

Precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em -2 e que, somados, resultem em -1. Esses números são -2 e 1.

Passo 9

Com esses números, reescrevemos o polinômio:
x^2 - 2x + x - 2

Passo 10

Agrupamos os termos:
(x^2 - 2x) + (x - 2)

Passo 11

Fatorando cada grupo:
x(x - 2) + 1(x - 2)

Passo 12

Fatorando o fator comum (x - 2):
(x - 2)(x + 1)

Passo 13

Vamos resolver o item c), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau x^2 - 2x + 1. Usaremos a fatoração de trinomiais, buscando dois números que multiplicados dão 1 e somados dão -2.

Passo 14

Precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em 1 e que, somados, resultem em -2. Esses números são -1 e -1.

Passo 15

Com esses números, reescrevemos o polinômio:
x^2 - x - x + 1

Passo 16

Agrupamos os termos:
(x^2 - x) + (-x + 1)

Passo 17

Fatorando cada grupo:
x(x - 1) - 1(x - 1)

Passo 18

Fatorando o fator comum (x - 1):
(x - 1)^2

Passo 19

Vamos resolver o item d), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau x^2 - 6x + 9. Usaremos a fatoração de trinomiais, procurando dois números que multiplicados dão 9 e somados dão -6.

Passo 20

Precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em 9 e que, somados, resultem em -6. Esses números são -3 e -3.

Passo 21

Com esses números, reescrevemos o polinômio:
x^2 - 3x - 3x + 9

Passo 22

Agrupamos os termos:
(x^2 - 3x) + (-3x + 9)

Passo 23

Fatorando cada grupo:
x(x - 3) - 3(x - 3)

Passo 24

Fatorando o fator comum (x - 3):
(x - 3)^2

Passo 25

Vamos resolver o item e), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau 2x^2 - 3x. Aqui, vamos identificar um fator comum e usar a fatoração por agrupamento.

Passo 26

Observamos que ambos os termos têm um x como fator comum. Então, podemos fatorar x:
x(2x - 3)

Passo 27

Vamos resolver o item f), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau 2x^2 - 3x + 1. Usaremos a fatoração de trinomiais com coeficiente líder diferente de 1.

Passo 28

Procuramos dois números que multiplicados dão (2 times 1) = 2 e somados dão -3. Esses números são -2 e -1.

Passo 29

Reescrevemos o polinômio utilizando esses números:
2x^2 - 2x - x + 1

Passo 30

Agrupamos os termos:
(2x^2 - 2x) + (-x + 1)

Passo 31

Fatoramos cada grupo:
2x(x - 1) -1(x - 1)

Passo 32

Fatoramos o fator comum (x - 1):
(x - 1)(2x - 1)

Passo 33

Vamos resolver o item g), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau x^2 - 25. Este é um caso especial conhecido como diferença de quadrados.

Passo 34

A diferença de quadrados segue a fórmula:
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Passo 35

Identificamos a = x e b = 5, já que 25 = 5^2.

Passo 36

Aplicamos a fórmula:
(x - 5)(x + 5)

Passo 37

Vamos resolver o item h), que pede para fatorar o polinômio do segundo grau 3x^2 + x - 2. Usaremos a fatoração de trinomiais com coeficiente líder diferente de 1.

Passo 38

Procuramos dois números que multiplicados dão (3 times -2) = -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2.

Passo 39

Reescrevemos o polinômio utilizando esses números:
3x^2 + 3x - 2x - 2

Passo 40

Agrupamos os termos:
(3x^2 + 3x) + (-2x - 2)

Passo 41

Fatoramos cada grupo:
3x(x + 1) -2(x + 1)

Passo 42

Fatoramos o fator comum (x + 1):
(x + 1)(3x - 2)

Resposta

A fatoração do polinômio 3x^2 + x - 2 é (x + 1)(3x - 2).

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