Calcular os autovalores e autovetores correspondente a matriz A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores \lambda e os autovetores não-nulos v de
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Por definição, \lambda e v satisfazem
A v = \lambda v,
que equivale a
(A - \lambda I)\,v = 0.
Para existir solução não-trivial v\neq0, precisamos que
\det(A - \lambda I)=0.

Passo 2

Vamos montar A - \lambda I e calcular seu determinante:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[6pt]3 & 4-\lambda\end{pmatrix},
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - (3\cdot1).
Expandindo,
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)(4-\lambda) - 3 = \bigl(8 - 2\lambda -4\lambda + \lambda^2\bigr) -3 = \lambda^2 -6\lambda +5.]

Passo 3

Impondo \det(A - \lambda I)=0, obtemos
\lambda^2 -6\lambda +5 = 0.
As raízes dessa equação quadrática são
\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 -4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 -20}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
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\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 1.

Passo 4

Para \lambda_1 = 5, resolvemos
(A - 5I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2-5 & 1\\[4pt]3 & 4-5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & 1\\\\ 3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -3x + y = 0, ou seja y = 3x. Escolhendo x=1, um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda_2 = 1, resolvemos
(A - I)v = 0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2-1 & 1\\[4pt]3 & 4-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 1\\\\ 3 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem x + y = 0, ou seja y = -x. Escolhendo x=1, um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = 5, com autovetor v_1 = (1,\,3)^T;
\lambda_2 = 1, com autovetor v_2 = (1,\,-1)^T.

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