Determine a \operatorname{Im}(T) da transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} dada por
T(x, y, z)=(x-y-z, x+y+z, 2 x-y+z,-y)
Em seguida, determine a base de \operatorname{Im}(T) (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} por
T(x,y,z) = \bigl(x - y - z,\;x + y + z,\;2x - y + z,\;-y\bigr).
Queremos determinar o subespaço \Im(T) (a imagem de T) e uma base de \Im(T). Para isso, usaremos a representação matricial de T e o conceito de espaço gerado por colunas.

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores canônicos
\mathbf e_1=(1,0,0), \mathbf e_2=(0,1,0) e \mathbf e_3=(0,0,1):
T(1,0,0) = (1,1,2,0), \qquad T(0,1,0) = (-1,1,-1,-1), \qquad T(0,0,1) = (-1,1,1,0).
Esses vetores serão as colunas da matriz A que representa T.

Passo 3

Qualquer vetor (x,y,z) satisfaz
T(x,y,z) \;=\; x\,T(1,0,0) \;+\; y\,T(0,1,0) \;+\; z\,T(0,0,1),
logo
\Im(T) \;=\;\Span\bigl\{(1,1,2,0),\;(-1,1,-1,-1),\;(-1,1,1,0)\bigr\}.

Passo 4

Verificamos se esses três vetores são linearmente independentes. Seja
\alpha(1,1,2,0)+\beta(-1,1,-1,-1)+\gamma(-1,1,1,0)= (0,0,0,0).
Da quarta componente vem -\beta=0\implies\beta=0. Substituindo nas demais equações, obtemos \alpha=0 e \gamma=0. Assim, só existe a combinação trivial, e os vetores são independentes.

Passo 5

Como há três vetores independentes em \mathbb{R}^{4}, \dim\Im(T)=3 e uma base de \Im(T) é justamente
\{\, (1,1,2,0),\; (-1,1,-1,-1),\; (-1,1,1,0)\,\}.

Resposta

\Im(T) = \Span\{(1,1,2,0),\;(-1,1,-1,-1),\;(-1,1,1,0)\}.
Base de \Im(T):
\{(1,1,2,0),\;(-1,1,-1,-1),\;(-1,1,1,0)\}.

Exercícios relacionados