Verifique se a transformação T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, definida como T(x, y)=(x+y, x-y) é inversível, Em caso positivo, determinar a lei de formação da T^{-1} (Apresente todos os cálculos/etapas. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2},\quad T(x,y)=(x+y,\;x-y)
é invertível e, em caso positivo, determinar a lei de formação de T^{-1}.
Conteúdo necessário: matriz associada a T, cálculo de determinante em \mathbb{R}^{2} e resolução de sistema linear para achar a inversa.

Passo 2

Escrevemos a matriz associada a T em relação à base canônica:
M = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de M:
\det(M) = (1)\cdot(-1) - (1)\cdot(1) = -1 - 1 = -2.

Passo 4

Como \det(M) = -2 \neq 0, a transformação T é invertível.

Passo 5

Para encontrar T^{-1}, chamemos o resultado de T(x,y) de (u,v). Assim,
u = x + y,\quad v = x - y.
Somando as duas equações:
u + v = (x + y) + (x - y) = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{u+v}{2}.
Subtraindo a segunda da primeira:
u - v = (x + y) - (x - y) = 2y \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{u-v}{2}.

Passo 6

Logo, a lei de formação da inversa é
T^{-1}(u,v) = \Bigl(\tfrac{u+v}{2},\;\tfrac{u-v}{2}\Bigr).

Resposta

T^{-1}(x,y) = \Bigl(\tfrac{x+y}{2},\;\tfrac{x-y}{2}\Bigr).

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