Calcular os autovalores e autovetores correspondentes as matrizes abaixo:
A=[ccc1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores da matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
O conteúdo envolvido é autovalores e autovetores: vamos obter o polinômio característico det(A - lambda I), achar as raízes lambda e, para cada uma, resolver (A - lambda I)x=0.

Passo 2

Formamos A - lambda I e calculamos o determinante:
A - lambda I = 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda
Como a primeira linha tem dois zeros,
det(A - lambda I) = (1-lambda)det!1-lambda & -21 & -1-lambda
Dentro do determinante 2times 2:
det1-lambda & -21 & -1-lambda = (1-lambda)(-1-lambda) - (-2)cdot1 = -(1-lambda)(1+lambda) +2 = lambda^2 +1
Logo,
det(A - lambda I) = (1-lambda),(lambda^2+1)

Passo 3

As raízes do polinômio característico são dadas por
(1-lambda)(lambda^2+1)=0 Longrightarrow lambda=1, lambda^2=-1;Rightarrow;lambda=i,,-i

Passo 4

Agora,
e o sistema é
Tomando , . Assim, um vetor próprio é

Passo 5

Para lambda = i:
A - iI = 1-i & 0 & 0 1 &1-i & -2 0 & 1 & -1-i
Da primeira linha vem x1=0. Das outras:
(1-i)x2 - 2x3 = 0 ;Rightarrow; x2 = 21-ix3 = (1+i)x3,
e a terceira linha confirma x2=(1+i)x3. Com x3=s, um vetor próprio é
v2 = 01+i1 (sneq0)

Passo 6

Para lambda = -i:
A + iI = 1+i & 0 & 0 1 &1+i & -2 0 & 1 & -1+i
De novo x1=0 e
(1+i)x2 - 2x3 = 0 ;Rightarrow; x2 = 21+ix3 = (1-i)x3,
confirmado pela terceira linha. Com x3=u, um vetor próprio é
v3 = 01-i1 (uneq0)

Resposta

lambda1 = 1 com vetor próprio v1=(2,2,1)^T.
lambda2 = i com vetor próprio v2=(0,1+i,1)^T.
lambda3 = -i com vetor próprio v3=(0,1-i,1)^T.

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