Seja V o espaço vetorial das matrizes 2 times 3, verificar se A, B, C é L I ou L D, sendo
A=[rrr -1 & 1 & 1 3 & -2 & 4 ], B=[rrr 0 & -1 & 2 -2 & 1 & 0 ], C=[rrr -1 & 0 & 5 1 & 0 & 3 ]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto A,B,Csubset V, onde V é o espaço vetorial das matrizes 2times3, é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Para isso, vamos usar a definição: A,B,C é LI se a única solução do sistema
alpha A + beta B + gamma C = 0
for alpha=beta=gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos à matriz zero, gerando seis equações (uma para cada entrada):
alpha -1&1&13&-2&4 + beta 0&-1&2-2&1&0 + gamma -1&0&51&0&3 = 0&0&00&0&0
Isso dá o sistema
-,alpha ;+;0beta;-;gamma = 0, alpha;-;beta;+;0gamma = 0, alpha;+;2beta;+;5gamma = 0, 3alpha;-;2beta;+;gamma = 0, -,2alpha;+;beta;+;0gamma = 0, 4alpha;+;0beta;+;3gamma = 0

Passo 3

Da primeira equação -alpha-gamma=0 obtemos
gamma = -alpha
Da segunda equação alpha-beta=0 obtemos
beta = alpha

Passo 4

Substituindo beta=alpha na quinta equação -2alpha+beta=0 vem
-2alpha + alpha = -alpha = 0 Longrightarrow alpha = 0
Então beta=0 e gamma=0.

Passo 5

Com alpha=beta=gamma=0, todas as demais equações (3ª, 4ª e 6ª) também ficam satisfeitas, sem introduzir outra solução.

Passo 6

Como a única solução do sistema é alpha=beta=gamma=0, concluímos que não há combinação não trivial que zere alpha A+beta B+gamma C. Logo, A,B,C é linearmente independente.

Resposta

O conjunto A,B,C é linearmente independente.

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