Determinar os autovalores e os autovetores das transformações a seguir:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x,-2 x-y, 2 x+y+2 z)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os autovalores e os autovetores da transformação linear
,T:R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x,,-2x - y,;2x + y + 2z)
Isso significa que primeiro vamos escrever a matriz de T na base canônica, depois calcular o polinômio característico det(A-lambda I)=0 para obter os autovalores lambda, e em seguida resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda a fim de achar os autovetores.

Passo 2

A matriz de T na base canônica é
A = 1 & 0 & 0 -2 & -1 & 0 2 & 1 & 2
Para achar o polinômio característico, consideramos A - lambda I e calculamos o determinante:
A-lambda I = 1-lambda & 0 & 0 -2 & -1-lambda & 0 2 & 1 & 2-lambda

Passo 3

Como só há um elemento não-nulo na primeira linha, expandimos pela primeira linha:
det(A-lambda I) =(1-lambda)det -1-lambda & 0 1 & 2-lambda =(1-lambda)l(-1-lambdar)l(2-lambdar)
Logo, os autovalores são as raízes
1-lambda=0, -1-lambda=0, 2-lambda=0,
ou seja
lambda1 = 1, lambda2 = -1, lambda3 = 2

Passo 4

Para lambda1=1, temos
A - I = 0 & 0 & 0 -2 & -2 & 0 2 & 1 & 1 ,
e o sistema (A-I)(x,y,z)^T=0 vira
-2(x+y)=0, 2x+y+z=0
Da primeira equação vem y=-x. Substituindo na segunda:
2x+(-x)+z=0 x+z=0, ou z=-x.
Assim, um autovetor associado a lambda1=1 é
v1 = (x,,-x,,-x) = (1,-1,-1)

Passo 5

Para lambda2=-1, temos
A + I = 2 & 0 & 0 -2 & 0 & 0 2 & 1 & 3 ,
e o sistema (A+I)(x,y,z)^T=0
2x=0implies x=0, y+3z=0implies y=-3z
Escolhendo z=1, um autovetor é
v2 = (0,-3,1)

Passo 6

Para lambda3=2, temos
A - 2I = -1 & 0 & 0 -2 & -3 & 0 2 & 1 & 0 ,
e o sistema (A-2I)(x,y,z)^T=0
-x=0implies x=0, -3y=0implies y=0,
sem impor nenhuma condição em z. Tomando z=1, um autovetor é
v3 = (0,0,1)

Resposta

Os autovalores e autovetores são:
lambda1=1, com v1=(1,-1,-1);
lambda2=-1, com v2=(0,-3,1);
lambda3=2, com v3=(0,0,1).

Exercícios relacionados