Determinar os autovalores e os autovetores das transformações a seguir:
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+y, y, z)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
,T:R^3toR^3 dada por
T(x,y,z) = (x+y,;y,;z)
Queremos encontrar todos os autovalores lambda e, para cada um, os autovetores não nulos v tais que T(v)=lambda v.

Passo 2

Vamos escrever T na base canônica e1,e2,e3. Calculamos
T(e1)=(1,0,0), T(e2)=(1,1,0) e T(e3)=(0,0,1).
Assim a matriz de T é
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 & 0 0 & 1-lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda = (1-lambda)^3

Passo 4

Igualando a zero, obtemos
1-lambda=0 Longrightarrow lambda=1
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 5

Para achar os autovetores associados a , resolvemos
Da primeira linha vem , enquanto e são livres. Logo o espaço próprio é bidimensional.

Resposta

O único autovalor é
lambda = 1 (multiplicidade algébrica 3), e o espaço próprio correspondente é
E1 = (x,0,z)mid x,zinR = span(1,0,0),;(0,0,1)

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