Calcular os autovalores e autovetores correspondentes as matrizes abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular os autovalores e autovetores da matriz
Conteúdo: cálculo do polinômio característico
det(A-lambda I)=0 e, em seguida, solução de
(A-lambda I)v=0 .
Passo 2
Vamos montar o determinante
det(A-lambda I) . Temos
Expandindo pela primeira linha:
Calculando cada parte, chega-se a
Passo 3
O polinômio característico é
que fatoriza como
(lambda+1)^3=0 . Logo o único autovalor é
com multiplicidade algébrica 3.
Passo 4
Para achar os autovetores, resolvemos
(A+I)v=0 . Nota-se
de onde a única equação não trivial é
As outras linhas são múltiplas desta, logo o espaço próprio tem dimensão 2.
Passo 5
Parametrizando por
y=s ,
z=t , obtemos
Para evitar frações, podemos escolher dois vetores independentes tomando:
-
, dandos=4, t=0implies x=-3 .v1=(-3,4,0) -
, dandos=0, t=2implies x=1 .v2=(1,0,2)
Resposta
O único autovalor é
(com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2) e os autovetores correspondentes formam o espaço