Calcular os autovalores e autovetores correspondentes as matrizes abaixo:
A=[ccc3 & 3 & -2 0 & -1 & 0 8 & 6 & -5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e autovetores da matriz
A = 3 & 3 & -2 0 & -1 & 0 8 & 6 & -5
Conteúdo: cálculo do polinômio característico det(A-lambda I)=0 e, em seguida, solução de (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos montar o determinante det(A-lambda I). Temos
A-lambda I = 3-lambda & 3 & -2 0 & -1-lambda & 0 8 & 6 & -5-lambda
Expandindo pela primeira linha:
det(A-lambda I) =(3-lambda)det-1-lambda&06&-5-lambda -3det0&08&-5-lambda -2det0&-1-lambda8&6
Calculando cada parte, chega-se a
det(A-lambda I) =-lambda^3-3lambda^2-3lambda-1

Passo 3

O polinômio característico é
-lambda^3-3lambda^2-3lambda-1=0 Long<=ftrightarrow lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=0,
que fatoriza como (lambda+1)^3=0. Logo o único autovalor é
lambda=-1
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para achar os autovetores, resolvemos (A+I)v=0. Nota-se
A+I = 4 & 3 & -2 0 & 0 & 0 8 & 6 & -4 ,
de onde a única equação não trivial é
4x+3y-2z=0
As outras linhas são múltiplas desta, logo o espaço próprio tem dimensão 2.

Passo 5

Parametrizando por y=s, z=t, obtemos
x=-3s+2t4
Para evitar frações, podemos escolher dois vetores independentes tomando:
  • s=4, t=0implies x=-3, dando v1=(-3,4,0).
  • s=0, t=2implies x=1, dando v2=(1,0,2).

Resposta

O único autovalor é
lambda=-1
(com multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica 2) e os autovetores correspondentes formam o espaço
span(-3,4,0),,(1,0,2)

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