Mostre que beta=(2,-1),(-3,2) é uma base do R^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que beta = (2,-1),,(-3,2) é uma base de R^2. Isso significa que precisamos verificar duas coisas:
  1. que esses dois vetores são linearmente independentes;
  2. que eles geram todo R^2.

Passo 2

Vamos checar a independência linear. Suponha que existam escalares
Isso equivale ao sistema
Da segunda equação vem e então . Como a única combinação linear que anula os vetores é a trivial, eles são linearmente independentes.

Passo 3

Agora mostramos que eles geram
Isso dá o sistema
Resolvendo, da segunda equação . Como para todo existem que o reproduzem, gera .

Passo 4

Concluímos que beta é formada por dois vetores linearmente independentes e que geram todo R^2. Portanto, beta é uma base de R^2.

Resposta

O conjunto beta=(2,-1),(-3,2) é uma base de R^2.

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