Mostre que
é uma base do
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma base de
. Isso significa que precisamos verificar duas coisas:
- que esses dois vetores são linearmente independentes;
- que eles geram todo
.
Passo 2
Vamos checar a independência linear. Suponha que existam escalares
Isso equivale ao sistema
Da segunda equação vem e então
. Como a única combinação linear que anula os vetores é a trivial, eles são linearmente independentes.
Passo 3
Agora mostramos que eles geram
Isso dá o sistema
Resolvendo, da segunda equação . Como para todo
existem
que o reproduzem,
gera
.
Passo 4
Concluímos que
beta é formada por dois vetores linearmente independentes e que geram todo
R^2 . Portanto,
beta é uma base de
R^2 .
Resposta
O conjunto
beta=(2,-1),(-3,2) é uma base de
R^2 .