(1,5) Questão 4.
Para que valores de m os pontos A=(1, m, 0), B=(2,1,-1) e C=(0,2,5) são vértices de um triângulo retângulo em A ?

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,m,0), B=(2,1,-1) e C=(0,2,5) e pede o valor de m para que o ângulo em A seja reto. Para isso usamos o fato de que, num triângulo retângulo em A, os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são perpendiculares, ou seja, seu produto escalar é zero.

Passo 2

Vamos calcular esses vetores:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2-1,\;1-m,\;-1-0) = (1,\;1-m,\;-1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0-1,\;2-m,\;5-0) = (-1,\;2-m,\;5).

Passo 3

Impondo \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0 temos
1\cdot(-1)+(1-m)(2-m)+(-1)\cdot5=0 \quad\Longrightarrow\quad -1+(1-m)(2-m)-5=0 \quad\Longrightarrow\quad (1-m)(2-m)=6.
Expandindo,
m^2-3m+2=6 \quad\Longrightarrow\quad m^2-3m-4=0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática
m^2-3m-4=0
pela fórmula de Bhaskara,
m=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2},
obtém-se
m=4 \quad\text{ou}\quad m=-1.

Resposta

m=4 ou m=-1

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