(1,5) Questão 4.
Para que valores de m e n os pontos A=(1,1,-1), B=(0, m, 1), e C=(n, 1,2) são colineares?

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A=(1,1,-1),\quad B=(0,m,1),\quad C=(n,1,2)
e pede m e n tais que A, B e C sejam colineares.
Para isso usamos o critério de colinearidade: A, B e C são colineares se e somente se os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} forem proporcionais (linearmente dependentes).

Passo 2

Vamos calcular
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\;m-1,\;1-(-1))=(-1,\;m-1,\;2),
\overrightarrow{AC}=C-A=(n-1,\;1-1,\;2-(-1))=(n-1,\;0,\;3).

Passo 3

A colinearidade exige que exista um escalar t tal que
\overrightarrow{AB}=t\,\overrightarrow{AC}.
Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} -1 = t\,(n-1),\\\ m-1 = t\cdot 0,\\\\ 2 = t\cdot 3. \end{cases}

Passo 4

Do segundo item vem
m-1=0\implies m=1.
Do terceiro item vem
t=\frac{2}{3}.
Substituindo em -1 = t\,(n-1):
-1 = \frac{2}{3}(n-1) \quad\Longrightarrow\quad n-1 = -\frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad n = 1 - \frac{3}{2} = -\frac12.

Resposta

m=1 e n=-\tfrac12.

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