Calcular os autovalores e autovetores das matrizes seguintes :
Diagonalizar essas matrizes.
Passo 1
O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores de
A1=2&1&12&3&4-1&-1&-2
e
diagonalizar essa matriz, e depois repetir tudo para
A2=2&1&12&3&23&3&4
Para isso vamos usar polinômio característico, fatoração em raízes e resolver sistemas homogêneos para achar vetores próprios, montando depois a forma diagonalizada.
Para A_{1}: autovalores {3,1,-1}, autovetores correspondentes v_{3}=(-2,-3,1)^{T}, v_{1}=(-1,1,0)^{T}, v_{-1}=(0,1,-1)^{T}, e diagonalização A_{1}=P_{1}D_{1}P_{1}^{-1} com
P_{1}=-2&-1&0-3&1&11&0&-1,
D_{1}=\mathrm{diag}(3,1,-1).
Para A_{2}: autovalores {7,1,1}, autovetor de 7 é (1,2,3)^{T}, espaço próprio de 1 gerado por (-1,1,0)^{T} e (-1,0,1)^{T}, e diagonalização A_{2}=P_{2}D_{2}P_{2}^{-1} com
P_{2}=-1&-1&11&0&20&1&3,
D_{2}=\mathrm{diag}(1,1,7).