Calcular os autovalores e autovetores das matrizes seguintes :
A1=(rrr 2 & 1 & 1 2 & 3 & 4 -1 & -1 & -2 ) , A2=(lll 2 & 1 & 1 2 & 3 & 2 3 & 3 & 4 )
Diagonalizar essas matrizes.

Passo 1

O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores de
A1=2&1&12&3&4-1&-1&-2
e
diagonalizar essa matriz, e depois repetir tudo para
A2=2&1&12&3&23&3&4
Para isso vamos usar polinômio característico, fatoração em raízes e resolver sistemas homogêneos para achar vetores próprios, montando depois a forma diagonalizada.

Passo 2

Para A1, montamos o determinante
det(A1-lambda I)=det2-lambda&1&12&3-lambda&4-1&-1&-2-lambda
Expandindo e simplificando obtemos
det(A1-lambda I)=-lambda^3+3lambda^2+lambda-3=-, (lambda-3)(lambda-1)(lambda+1)
Logo os autovalores são lambda=3,,1,,-1.

Passo 3

Agora achamos cada autovetor solucionando (A1-lambda I)x=0):
— Para lambda=3:
(A1-3I)=-1&1&12&0&4-1&-1&-5implies v3=(-2,-3,1)^T
— Para lambda=1:
(A1-I)=1&1&12&2&4-1&-1&-3implies v1=(-1,1,0)^T
— Para lambda=-1:
(A1+I)=3&1&12&4&4-1&-1&-1implies v-1=(0,1,-1)^T

Passo 4

Montamos a diagonalização de A1 usando
P1=[v3;v1;v-1]=-2&-1&0-3&1&11&0&-1, D1=diag(3,1,-1),
e verificamos A1=P1D1P1^-1.

Passo 5

Para A2, construímos
det(A2-lambda I)=det2-lambda&1&12&3-lambda&23&3&4-lambda,
que dá
det(A2-lambda I)=-lambda^3+9lambda^2-15lambda+7=-(lambda-1)^2(lambda-7)
Então os autovalores são lambda=1 (multiplicidade 2) e lambda=7.

Passo 6

Agora achamos os vetores próprios de A2:
— Para lambda=7: solve (A2-7I)x=0)
v7=(1,2,3)^T
— Para lambda=1: (A2-I)=1&1&12&2&23&3&3 gera a condição x+y+z=0, com duas dimensões livres. Uma base é
v1^(1)=(-1,1,0)^T, v1^(2)=(-1,0,1)^T

Passo 7

A diagonalização de A2 é
P2=[v1^(1);v1^(2);v7]=-1&-1&11&0&20&1&3, D2=diag(1,1,7),
com A2=P2D2P2^-1.

Resposta

Para A_{1}: autovalores {3,1,-1}, autovetores correspondentes v_{3}=(-2,-3,1)^{T}, v_{1}=(-1,1,0)^{T}, v_{-1}=(0,1,-1)^{T}, e diagonalização A_{1}=P_{1}D_{1}P_{1}^{-1} com
P_{1}= -2&-1&0-3&1&11&0&-1,
D_{1}=\mathrm{diag}(3,1,-1).
Para A_{2}: autovalores {7,1,1}, autovetor de 7 é (1,2,3)^{T}, espaço próprio de 1 gerado por (-1,1,0)^{T} e (-1,0,1)^{T}, e diagonalização A_{2}=P_{2}D_{2}P_{2}^{-1} com
P_{2}= -1&-1&11&0&20&1&3,
D_{2}=\mathrm{diag}(1,1,7).

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