Calcular
para todo
com
Passo 1
O enunciado pede para calcular a potência de uma matriz 2×2 para todo n∈ℕ. O conteúdo principal é diagonalização de matrizes (autovalores e autovetores) e uso de Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹.
Passo 2
Para diagonalizar A, primeiro calculamos o polinômio característico. Como trace(A)=1 e det(A)=−2, temos
Passo 3
Agora achamos um autovetor para λ₁=2 resolvendo (A-2I)v=0. Isso dá o sistema x+4y=0, logo podemos escolher v₁=(4,−1). Para λ₂=−1, (A+I)v=0 dá 4x+4y=0, então um autovetor é v₂=(1,−1).
Passo 4
Montamos P com colunas v₁ e v₂ e calculamos P⁻¹. Temos
Passo 5
Como A=P D P⁻¹ com D=diag(2,−1), segue
Passo 6
Após a multiplicação e simplificação usando (-1){n+1}=-(-1)n, chega-se à expressão
Verifique para n=0 damos A⁰=I e para n=1 recuperamos A, garantindo que a fórmula está correta.