Calcular A^n para todo n in N com
A=(rr 3 & 4 -1 & -2 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência de uma matriz 2×2 para todo n∈ℕ. O conteúdo principal é diagonalização de matrizes (autovalores e autovetores) e uso de Aⁿ = P Dⁿ P⁻¹.

Passo 2

Para diagonalizar A, primeiro calculamos o polinômio característico. Como trace(A)=1 e det(A)=−2, temos
chi(λ)=λ^2 - (trA),λ + det A = λ^2 - λ - 2 = (λ-2)(λ+1) Os autovalores são λ₁=2 e λ₂=−1.

Passo 3

Agora achamos um autovetor para λ₁=2 resolvendo (A-2I)v=0. Isso dá o sistema x+4y=0, logo podemos escolher v₁=(4,−1). Para λ₂=−1, (A+I)v=0 dá 4x+4y=0, então um autovetor é v₂=(1,−1).

Passo 4

Montamos P com colunas v₁ e v₂ e calculamos P⁻¹. Temos
P=4 & 1 -1 & -1, det P=-3, P^-1=1-3-1 & -1 1 & 4

Passo 5

Como A=P D P⁻¹ com D=diag(2,−1), segue
A^n = P,2^n & 0 0 & (-1)^n,P^-1 Multiplicando em duas etapas (primeiro P D, depois o produto por P⁻¹) e simplificando, obtemos a fórmula geral.

Passo 6

Após a multiplicação e simplificação usando (-1){n+1}=-(-1)n, chega-se à expressão
A^n=134,2^n -(-1)^n & 4,2^n -4(-1)^n -2^n +(-1)^n & -2^n +4(-1)^n Esse resultado vale para todo n∈ℕ.
Verifique para n=0 damos A⁰=I e para n=1 recuperamos A, garantindo que a fórmula está correta.

Resposta

A^n=134,2^n -(-1)^n & 4,2^n -4(-1)^n-2^n +(-1)^n & -2^n +4(-1)^n, para todo n∈ℕ.

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