Verificar se as matrizes seguintes são inversiveis e se é possivel calcular a inversa :
[
A=\left( rr 1 & 0 2 & -1 \right), \quad B=\left( rrr 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & -1 \right), \quad C=\left( lll 1 & 2 & 3 2 & 3 & 4 3 & 5 & 7 \right) .

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se as matrizes A, B e C são inversíveis, isto é, se o determinante de cada uma é diferente de zero. Vamos usar a teoria de que uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, seu determinante for não nulo.

Passo 2

Para a matriz A de ordem 2 usamos a fórmula det(A)=a11a22-a12a21. Calculando:
det(A)=1cdot(-1)-0cdot2=-1
Como det(A)=-1neq0, A é inversível (logo é possível calcular A^-1).

Passo 3

Para a matriz B de ordem 3, observamos que ela é triangular (todos os elementos abaixo da diagonal principal, exceto na linha 3, são zero), então
det(B)=b11,b22,b33=1cdot(-1)cdot(-1)=1
Como det(B)=1neq0, B também é inversível (logo B^-1 existe).

Passo 4

Para a matriz C de ordem 3 calculamos o determinante (pela regra de Sarrus ou Laplace):
det(C)=1&2&32&3&43&5&7 =1(3cdot7-4cdot5)-2(2cdot7-4cdot3)+3(2cdot5-3cdot3) =1cdot1-2cdot2+3cdot1 =1-4+3=0
Como det(C)=0, C não é inversível (não existe C^-1).

Resposta

As matrizes A e B são inversíveis (determinantes não nulos), portanto suas inversas existem. A matriz C não é inversível (determinante zero).

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