Calcular a inversa das matrizes seguintes :
[
A=\left( rrrr 1 & 1 & 1 & 1 2 & -3 & -2 & 2 -1 & -3 & -2 & -2 3 & 1 & -1 & 0 \right) \quad, \quad B=\left( rrrr 2 & 4 & 3 & 2 3 & 6 & 5 & 2 2 & 5 & 2 & -3 4 & 5 & 14 & 14 \right) .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as inversas de duas matrizes 4×4, A e B, aplicando o conteúdo de matrizes inversas e eliminação de Gauss–Jordan. Vamos usar o método de montar a matriz aumentada [M|I] e aplicar operações elementares até obter [I|M^-1].

Passo 2

Para A, começamos montando a matriz aumentada
[A|I]=(rrrr|rrrr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & -3 & -2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 -1 & -3 & -2 & -2 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 )
Usamos o pivô da 1ª linha para zerar abaixo na coluna 1: R2→R2−2·R1, R3→R3+R1, R4→R4−3·R1. Isso gera
(rrrr|rrrr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -5 & -4 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & -2 & -1 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -2 & -4 & -3 & -3 & 0 & 0 & 1 )

Passo 3

Agora usamos o pivô da 2ª linha: R2→(−1/5)·R2 e zeramos a coluna 2 em R1, R3, R4 (R1−R2, R3+2R2, R4+2R2), ficando
(rrrr|rrrr 1 & 0 & 1/5 & 1 & 3/5 & 1/5 & 0 & 0 0 & 1 & 4/5 & 0 & 2/5 & -1/5 & 0 & 0 0 & 0 & 3/5 & -1 & 9/5 & -2/5 & 1 & 0 0 & 0 & -12/5 & -3 & -11/5 & -2/5 & 0 & 1 )
Em seguida o pivô da 3ª linha: R3→(5/3)·R3 e zeramos coluna 3 em R1, R2, R4. Depois o pivô da 4ª linha: R4→(−1/7)·R4 e zeramos coluna 4 em R1, R2, R3. No final obtemos [I|A^-1].

Passo 4

Extraímos
A^-1=121 20 & -1 & 9 & 4 -22 & -1 & -12 & 4 38 & -4 & 15 & -5 -15 & 6 & -12 & -3

Passo 5

Para B repetimos o mesmo esquema: montamos [B|I], escalonamos pela 1ª linha (R1→½R1) e zeramos abaixo (R2−3R1, R3−2R1, R4−4R1), depois pivot na 2ª coluna (usando R3), na 3ª (R2→2R2) e na 4ª (R4→⅕R4), zerando as outras linhas em cada etapa. Extraímos
B^-1=15 -115 & 145 & -64 & -18 5 & -10 & 6 & 2 50 & -60 & 26 & 7 10 & -10 & 3 & 1

Resposta

As inversas são
A^-1=121 20 & -1 & 9 & 4 -22 & -1 & -12 & 4 38 & -4 & 15 & -5 -15 & 6 & -12 & -3 , B^-1=15 -115 & 145 & -64 & -18 5 & -10 & 6 & 2 50 & -60 & 26 & 7 10 & -10 & 3 & 1

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