Calcular os autovalores e autovetores da seguinte matriz A=(ccc2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os autovalores e autovetores da matriz A = 2 & 1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 2 & 4 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar esses valores especiais que caracterizam a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada A , um autovalor lambda é um número escalar tal que existe um vetor não nulo v (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
Av = lambdav
Isso significa que, ao multiplicar a matriz A pelo vetor v , o resultado é o vetor v escalado por lambda .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica, que é obtida determinando o determinante de A - lambda I igual a zero:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A .

Passo 4

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & -1 0 & 2 & 4 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(4 - lambda) - (-1)(2)] - 1[0(4 - lambda) - (-1)(0)] + 0[0(2) - (1 - lambda)(0)]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)[(1 - lambda)(4 - lambda) + 2]
Vamos expandir (1 - lambda)(4 - lambda) :
(1 - lambda)(4 - lambda) = 4 - lambda - 4lambda + lambda^2 = lambda^2 - 5lambda + 4
Então:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 4 + 2) = (2 - lambda)(lambda^2 - 5lambda + 6)
Fatorando o polinômio quadrático:
lambda^2 - 5lambda + 6 = (lambda - 2)(lambda - 3)
Portanto:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(lambda - 2)(lambda - 3) = -( lambda - 2)^2 (lambda - 3)
Igualando a zero:
-(lambda - 2)^2 (lambda - 3) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda = 2 (de mu<iplicidade 2) e lambda = 3

Passo 5

Agora que temos os autovalores [\lambda = 2) e , vamos encontrar os correspondentes autovetores resolvendo para cada .
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (y = 0].
Substituindo na segunda: [-0 - z = 0 \Rightarrow z = 0).
Então, . O vetor , onde pode ser qualquer número não nulo. Escolhendo :
Para :
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (y = x].
Da segunda: .
Substituindo na terceira: , que é uma identidade.
Então, os vetores são da forma . Escolhendo :

Resposta

Os autovalores e seus correspondentes autovetores da matriz A são:
  • Autovalor lambda = 2 com autovetor v1 = 1 0 0
  • Autovalor lambda = 3 com autovetor v2 = 1 1 -2

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