Seja o subespaço S de M(2,2) :
S=(lla & b c & d) c=a+b er d=a
a)Qual a dimensão de S ?
b) O conjunto:
(cc1 & -1 0 & 1),(ll2 & 1 3 & 4)
É uma base de S? Justificar.

Passo 1

O enunciado define o subespaço Ssubset M(2,2) das matrizes
a & b c & d
que satisfazem as condições c=a+b e d=a. Pede (a) a dimensão de S e (b) se o conjunto
1 & -10 & 1, 2 & 13 & 4
é uma base de S. Para isso vamos usar parametrização, cálculo de dimensão e definição de base.

Passo 2

Para determinar a dimensão de S, note que uma matriz genérica de S pode ser escrita em função de parâmetros livres a e b:
a & b a+b & a = a1 & 01 & 1 + b0 & 11 & 0
Como há exatamente dois parâmetros livres, concluímos que
dim S = 2

Passo 3

Para que um conjunto seja base de S, todos os seus vetores devem pertencer a S e ser linearmente independentes num número igual à dimensão de S. Primeiro verificamos a condição de pertinência:
Para
M1=1 & -10 & 1
temos a=1, b=-1, c=0 e d=1. De fato c=1+(-1)=0 e d=a=1, logo M1in S.
Para
M2=2 & 13 & 4
temos a=2, b=1, c=3 e d=4. Embora c=2+1=3 esteja correto, falha d=4neq a=2. Portanto M2notin S.

Resposta

a) dim S = 2
b) Não. O segundo vetor 2&13&4 não satisfaz d=a e, portanto, não pertence a S, de modo que o conjunto não pode ser base de S.

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