Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M(2,2):
(lla & b c & d) ; b=a+c e d=c

Passo 1

O enunciado define um subespaço de M(2,2) formado pelas matrizes
a & b c & d
que satisfazem as condições b = a + c e d = c.
O conteúdo é encontrar uma parametrização linear, extrair uma base e determinar a dimensão desse subespaço.

Passo 2

Usando as restrições b = a + c e d = c, toda matriz do subespaço pode ser escrita como
a & a + c c & c ,
onde a e c são parâmetros livres.

Passo 3

Separemos a dependência linear em a e c:
a & a + c c & c = a 1 & 1 0 & 0 + c 0 & 1 1 & 1
Isso mostra que o subespaço é gerado pelos dois vetores-matriz
E1 = 1 & 10 & 0, E2 = 0 & 11 & 1

Passo 4

Os vetores E1 e E2 são linearmente independentes porque não há combinação não trivial que resulte na matriz nula. Como geram toda a família das matrizes do subespaço, formam uma base.

Resposta

Dimensão do subespaço: 2.
Uma base é
1 & 10 & 0, 0 & 11 & 1

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