Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 5 & 2 & -1 3 & 4 & 2 1 & 0 & 1 e o objetivo é descobrir se ela tem uma inversa. Se tiver, vamos calcular essa inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como determinante e matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz A tem inversa. Isso só é possível se o determinante da matriz for diferente de zero. O determinante é um número que nos dá uma ideia se a matriz é “invertível” ou não.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde A = a & b & c d & e & f g & h & i . Substituindo os valores da nossa matriz:
det(A) = 5(4 times 1 - 2 times 0) - 2(3 times 1 - 2 times 1) + (-1)(3 times 0 - 4 times 1)
det(A) = 5(4) - 2(3 - 2) + (-1)(0 - 4)
det(A) = 20 - 2(1) + 4
det(A) = 20 - 2 + 4 = 22
Como o determinante é 22, que é diferente de zero, a matriz A tem inversa.
Passo 4
Agora que sabemos que a inversa existe, vamos calcular ela. A fórmula para a matriz inversa A^-1 de uma matriz 3x3 é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a adjugada de A , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Passo 5
Vamos encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento da matriz A , calculamos o cofator correspondente. O cofator Cij é dado por (-1)^i+j vezes o determinante da submatriz que sobra ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
C11 = (+1) times 4 & 2 0 & 1 = 1 times (4 times 1 - 2 times 0) = 4
C12 = (-1) times 3 & 2 1 & 1 = -1 times (3 times 1 - 2 times 1) = -1
C13 = (+1) times 3 & 4 1 & 0 = 1 times (3 times 0 - 4 times 1) = -4
C21 = (-1) times 2 & -1 0 & 1 = -1 times (2 times 1 - (-1) times 0) = -2
C22 = (+1) times 5 & -1 1 & 1 = 1 times (5 times 1 - (-1) times 1) = 6
C23 = (-1) times 5 & 2 1 & 0 = -1 times (5 times 0 - 2 times 1) = 2
C31 = (+1) times 2 & -1 4 & 2 = 1 times (2 times 2 - (-1) times 4) = 8
C32 = (-1) times 5 & -1 3 & 2 = -1 times (5 times 2 - (-1) times 3) = -13
C33 = (+1) times 5 & 2 3 & 4 = 1 times (5 times 4 - 2 times 3) = 14
Passo 6
Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 4 & -1 & -4 -2 & 6 & 2 8 & -13 & 14
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjugada: