Calcular, se existir, a inversa da matriz A=(ccc5 & 2 & -1 3 & 4 & 2 1 & 0 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 5 & 2 & -1 3 & 4 & 2 1 & 0 & 1 e o objetivo é descobrir se ela tem uma inversa. Se tiver, vamos calcular essa inversa. Para isso, vamos precisar entender conceitos como determinante e matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz A tem inversa. Isso só é possível se o determinante da matriz for diferente de zero. O determinante é um número que nos dá uma ideia se a matriz é “invertível” ou não.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde A = a & b & c d & e & f g & h & i . Substituindo os valores da nossa matriz:
det(A) = 5(4 times 1 - 2 times 0) - 2(3 times 1 - 2 times 1) + (-1)(3 times 0 - 4 times 1)
det(A) = 5(4) - 2(3 - 2) + (-1)(0 - 4)
det(A) = 20 - 2(1) + 4
det(A) = 20 - 2 + 4 = 22
Como o determinante é 22, que é diferente de zero, a matriz A tem inversa.

Passo 4

Agora que sabemos que a inversa existe, vamos calcular ela. A fórmula para a matriz inversa A^-1 de uma matriz 3x3 é:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a adjugada de A , que é a transposta da matriz dos cofatores.

Passo 5

Vamos encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento da matriz A , calculamos o cofator correspondente. O cofator Cij é dado por (-1)^i+j vezes o determinante da submatriz que sobra ao remover a i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  1. C11 = (+1) times 4 & 2 0 & 1 = 1 times (4 times 1 - 2 times 0) = 4
  2. C12 = (-1) times 3 & 2 1 & 1 = -1 times (3 times 1 - 2 times 1) = -1
  3. C13 = (+1) times 3 & 4 1 & 0 = 1 times (3 times 0 - 4 times 1) = -4
  4. C21 = (-1) times 2 & -1 0 & 1 = -1 times (2 times 1 - (-1) times 0) = -2
  5. C22 = (+1) times 5 & -1 1 & 1 = 1 times (5 times 1 - (-1) times 1) = 6
  6. C23 = (-1) times 5 & 2 1 & 0 = -1 times (5 times 0 - 2 times 1) = 2
  7. C31 = (+1) times 2 & -1 4 & 2 = 1 times (2 times 2 - (-1) times 4) = 8
  8. C32 = (-1) times 5 & -1 3 & 2 = -1 times (5 times 2 - (-1) times 3) = -13
  9. C33 = (+1) times 5 & 2 3 & 4 = 1 times (5 times 4 - 2 times 3) = 14

Passo 6

Agora, montamos a matriz dos cofatores:
Cof(A) = 4 & -1 & -4 -2 & 6 & 2 8 & -13 & 14
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a adjugada:
adj(A) = 4 & -2 & 8 -1 & 6 & -13 -4 & 2 & 14

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 122 cdot 4 & -2 & 8 -1 & 6 & -13 -4 & 2 & 14
Simplificando, multiplicamos cada elemento da adjugada por 122 :
A^-1 = 422 & -222 & 822 -122 & 622 & -1322 -422 & 222 & 1422
Podemos simplificar as frações:
A^-1 = 211 & -111 & 411 -122 & 311 & -1322 -211 & 111 & 711

Resposta

A inversa da matriz A é:
A^-1 = dfrac211 & dfrac-111 & dfrac411 [6px] dfrac-122 & dfrac311 & dfrac-1322 [6px] dfrac-211 & dfrac111 & dfrac711
]

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