Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:
A=[ll2 & 1 3 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e os autovetores da matriz
A = 2 & 13 & 4
O conteúdo envolvido é o cálculo de autovalores via polinômio característico det(A - lambda I)=0 e, em seguida, a determinação dos autovetores resolvendo (A - lambda I)v=0.

Passo 2

Vamos achar o polinômio característico de A. Primeiro montamos
A - lambda I = 2-lambda & 13 & 4-lambda
e calculamos o determinante
det(A - lambda I) = (2-lambda)(4-lambda) - 3 cdot 1
Distribuindo, obtemos
det(A - lambda I) = (2-lambda)(4-lambda) - 3 = (8 -6lambda + lambda^2) - 3 = lambda^2 - 6lambda + 5

Passo 3

Agora resolvemos a equação característica
lambda^2 - 6lambda + 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara, temos
lambda = 6 pm raiz36 - 202 = 6 pm raiz162 = 6 pm 42
Logo os autovalores são
lambda1 = 6+42=5, lambda2 = 6-42=1

Passo 4

Para lambda1 = 5, resolvemos (A - 5I)v = 0:
A - 5I = 2-5 & 13 & 4-5 = -3 & 13 & -1
A equação -3x + y = 0 y = 3x. Assim um autovetor associado é
v1 = 13,
ou qualquer múltiplo escalar de v1.

Passo 5

Para lambda2 = 1, resolvemos (A - I)v = 0:
A - I = 2-1 & 13 & 4-1 = 1 & 13 & 3
A equação x + y = 0 y = -x. Logo um autovetor é
v2 = 1-1,
ou qualquer múltiplo escalar de v2.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda1 = 5 com v1 = (1,3)^T
lambda2 = 1 com v2 = (1,-1)^T

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