Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores próprios das seguintes matrizes:
A=[ccc3 & 3 & -2 0 & -1 & 0 8 & 6 & -5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os autovalores e autovetores da matriz
A = 3 & 3 & -2 0 & -1 & 0 8 & 6 & -5
O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: vamos precisar do polinômio característico det(A-lambda I) e depois resolver (A-lambda I)x=0 para cada raiz lambda.

Passo 2

Formamos a matriz A-lambda I:
A - lambda I = 3-lambda & 3 & -2 0 & -1-lambda & 0 8 & 6 & -5-lambda
O polinômio característico é
det(A-lambda I) = 3-lambda & 3 & -2 0 & -1-lambda & 0 8 & 6 & -5-lambda
Como a segunda linha tem zeros nos colchetes, expandimos por ela e obtemos
det(A-lambda I) = (-1-lambda)l((3-lambda)(-5-lambda)-(-2)cdot8r)

Passo 3

Calculamos o termo em parênteses:
(3-lambda)(-5-lambda)+16 = lambda^2+2lambda-15+16 = lambda^2+2lambda+1 = (lambda+1)^2
Logo
det(A-lambda I) = (-1-lambda),(lambda+1)^2 = -(lambda+1)^3
As raízes são lambda=-1 com multiplicidade algébrica 3.

Passo 4

Para achar os autovetores associados a lambda=-1, resolvemos
(A+I)x=0,
pois lambda=-1 implica -lambda=1. A matriz A+I é
A+I = 4 & 3 & -2 0 & 0 & 0 8 & 6 & -4 ,
o que gera o sistema
4x1+3x2-2x3=0, 8x1+6x2-4x3=0,
sendo a segunda equação múltiplo exato da primeira. Assim só há a condição
4x1+3x2-2x3=0

Passo 5

Parametrizamos as soluções definindo x2=s, x3=t. Da equação
4x1=-3s+2t
vem
x1=-tfrac34s+tfrac12 t
Tomando por exemplo s=4,,t=0 e s=0,,t=2, obtemos dois vetores independentes
v1 = (-3,,4,,0), v2 = (1,,0,,2)
Eles formam uma base do espaço próprio.

Resposta

O único autovalor é lambda=-1 (multiplicidade algébrica 3).
Uma base para o espaço próprio associado é dada por
(-3,,4,,0) e (1,,0,,2)

Exercícios relacionados