Calcule os autovalores e os autoespaços associados de:
A=[ccc2 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores e os autoespaços de
A = 2 & -1 & 0 0 & 1 & -1 0 & 1 & 3
O método geral é calcular o polinômio característico det(A-lambda I), achar as raízes (autovalores) e para cada uma resolver (A-lambda I)x=0 (autoespaço).

Passo 2

Observamos que
A-lambda I = 2-lambda & -1 & 0 0 & 1-lambda & -1 0 & 1 & 3-lambda
é bloco-triangular (zeros na coluna 1, linhas 2 e 3), então
det(A-lambda I) = (2-lambda),det1-lambda & -11 & 3-lambda

Passo 3

Calculemos
det1-lambda & -11 & 3-lambda =(1-lambda)(3-lambda)-(-1)cdot1 =lambda^2-4lambda+4 =(lambda-2)^2

Passo 4

Logo o polinômio característico é
det(A-lambda I)=(2-lambda),(lambda-2)^2=-(lambda-2)^3,
de onde há um único autovalor
lambda=2
com multiplicidade algébrica 3.

Passo 5

Para achar o autoespaço associado a , resolvemos
As equações dão e , equivalentes a
com livre.

Resposta

O único autovalor é lambda=2 (multiplicidade 3) e o autoespaço correspondente é
E2 = l(x1,0,0)^T : x1inRr =span(1,0,0)^T

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